Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной

Рассмотрим наиболее употребительные способы решения многокритериальных задач. Первый способ состоит в том, чтобы многокритериальную задачу свести к однокритериальной. Это означает введение суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента:

.

Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине q _o, выделив тем самым наилучшую (в смысле этого критерия). Вид функции q _о определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий. Обычно для реализации данной процедуры используют аддитивные

или мультипликативные функции

Коэффициенты s_i обеспечивают безразмерность критериального значения (частные критерии могут иметь разную размерность, и тогда некоторые арифметические операции над ними, например сложение, не имеют смысла). Коэффициенты отражают относительный вклад частных критериев в суперкритерий.

Итак, при данном способе задача сводится к максимизации суперкритерия:

, при .

Очевидные достоинства объединения нескольких критериев в один суперкритерий сопровождаются рядом трудностей и недостатков, которые необходимо учитывать при использовании этого метода.

Рассмотрим примеры построения обобщенных критериальных показателей. Пусть рассматриваемая альтернатива характеризуется п частными критериальными функциями q.(i= 1, 2,.., p). Каждая из функций q_i имеет свой физический смысл и, чаще всего, свою размерность. Введем простейшее преобразование: набор данных для каждого q_i поставим в соответствие с самым простым стандартным аналогом -шкалой, на которой имеется только два значения: 0 - брак, неудовлетворительное качество, 1 - годный продукт, удовлетворительное качество. В ситуации, когда каждый преобразованный критерий принимает только два значения 0 и 1, естественно желать, чтобы и обобщенный критерий принимал одно из двух возможных значений, причем так, чтобы значение 1 имело место тогда и только тогда, когда все частные критериальные показатели приняли бы значение равное 1. Если же, хотя бы один из показателей принял значение, равное 0, то и обобщенный критерий будет равным нулю. В этом случае для построения обобщенного критериального показателя естественно воспользоваться формулой

Иногда применяют запись

где q ₀ - обобщенный критериальный показатель; q_t - частные критериальные функции.

Если для каждого из частных критериев известен «идеал», к которому нужно стремиться, то можно предложить следующий метод построения обобщенного параметра оптимизации (критериального показателя). Пусть q_{i 0} - наилучшее (идеальное) значение i -го критерия. Тогда (q_i-q_{i 0}) - мера близости к идеалу. Поскольку при построении обобщенного критериального показателя необходимо, чтобы различные показатели были сопоставимы, надо привести их к безразмерному значению. Это можно осуществить, от нормировав полученное отклонение следующим образом

Чтобы исключить влияние знаков, возведем последнее выражение в квадрат

Тогда обобщенный критериальный показатель можно записать

Если все частные критерии совпадают с идеалом, то q ₀ станет равным нулю. В таком правиле определения обобщенного критериального показателя каждый частный критерий входит в формулу на равных правах. На практике показатели бывают далеко не равноправны. Введем некоторые весовые коэффициенты , тогда правило определения обобщенного параметра можно записать в виде:

, причем

Задача определения значений весовых коэффициентов - это отдельная задача, она не входит в рамки обсуждения.

Если удается построить обобщенный критериальный показатель, то метод поиска оптимального решения будет аналогичен методу оптимизации в случае единственного критерия. В зависимости от вида критериального показателя в качестве метода решения могут быть использованы прямые оптимизационные процедуры, в случае невозможности аналитического решения используются численные методы.

Условная максимизация

Вторым способом решения задач выбора в условиях наличия нескольких критериальных показателей является сведение задачи к задаче условной максимизации. Данный метод решения задач выбора целесообразно применять в тех случаях, когда заведомо известно, что частные критерии неравнозначны между собой, одни из них более важны, чем другие. В этом случае происходит выделение основного, главного критерия, остальные рассматриваются как вспомогательные, дополнительные к выделенному. Такое разделение критериев позволяет сформулировать задачу принятия решений как задачу определения условного экстремума:

где через f(x) обозначен основной критерий; - вспомогательные или второстепенные критериальные функции. В ограничениях могут иметь место различные сочетания знаков: от строгого равенства до строгого неравенства. Например, если вспомогательный критерий характеризует стоимость затрат, то разумнее задавать их верхний уровень и формулировать задачу с ограничениями в виде неравенств. Для решения задач в такой постановке разработаны специальные методы математического программирования, рассмотренные в гл. 2 работы [57].