Неполные бифуркации и катастрофы

Как мы отмечали раньше, вильчатая бифуркация возникает в задачах, где есть некая симметрия. Однако во многих реальных случаях симметрия только приблизительна – эта неполнота приводит к небольшой разнице между левой и правой частями уравнения при замене . В качестве примера рассмотрим систему

.

Если , то мы возвратимся к стандартной форме суперкритической вильчатой бифуркации, и симметрия будет полная. Но эта симметрия нарушается когда , по этой причине называется параметром неполноты.

Данное уравнение несколько труднее для анализа, чем рассмотренное ранее, потому что в нем присутствует два независимых параметра. Вначале будем считать фиксированным и рассмотрим следствие изменения . Найдем неподвижные точки уравнения. Это можно сделать с помощью одной из СКМ,

Рис. 2.4.1 Рис. 2.4.2

или «врукопашную», если вы помните формулу Кардано. Мы используем графический метод, как в Примере 1.2. Построим графики функций и на одном рисунке, разбив его на секции, которые будут обусловлены количеством неподвижных точек.

Когда кубическая функция монотонно убывает, поэтому пересекается с прямой в единственной точке (левый рисунок). Более интересен случай ; здесь имеется 1, 2 или 3 различных точек пересечения графиков, зависящих от значения (правый рисунок). Критический случай наблюдается, когда горизонтальная прямая касается кривой в точке локального максимума или минимума, тогда происходит бифуркация «седло-узел». Легко видеть, что функция имеет локальный максимум в точке и локальный минимум в точке . Таким образом, уравнение имеет две неподвижные точки, если , одну точку, когда и три точки когда .

Для подведения итогов нашего анализа, мы построим бифуркационную кривую на плоскости . Заметим, что две ветви этой кривой пересекаются под углом (касаются), поэтому точка пересечения называется «острие копья». Мы также отметим на рисунке участки, соответствующие различному числу неподвижных точек. Бифуркация «седло-узел» находится на границе этих участков, а именно, в точке острия копья, где происходит бифуркация коразмерности 2 (Название происходит из–за наличия двух параметров и , определяющих этот тип бифуркации. До текущего момента мы рассматривали однопараметрические задачи, поэтому речь шла о бифуркациях коразмерности 1).

Рис.2.4.3

Рисунки, подобные этому, окажутся в дальнейшем весьма полезными. Мы будем их называть диаграммами устойчивости. Они демонстрируют различные типы поведения системы при перемещении точки в пространстве параметров (здесь ).

Представим наши результаты с помощью уже знакомых бифуркационных диаграмм при фиксированном . При получается обычная вильчатая бифуркация (Рис. 2.4.4), но когда вилка разъединяется и образует два куска (Рис. 2.4.5). Верхний кусок соответствует устойчивой неподвижной точке, в то время как нижний – и устойчивой, и неустойчивой.

Рис. 2.4.4 Рис. 2.4.5

Когда возрастает из отрицательной области, при отсутствует резкий переход, неподвижная точка «скользит» по верхней кривой. К тому же нижняя устойчивая ветвь недоступна, если только не делать больших «шевелений».

Рис. 2.4.6 Рис. 2.4.7

Теперь изобразим график при фиксированном (Рис. 2.4.6 – 2.4.7).

Если , то имеется одна устойчивая неподвижная точка при каждом (Рис. 2.4.6). Однако при может быть три неподвижных точки (при ), две неподвижных точки (при ) и одна неподвижная точка (при ). Средняя ветвь кривой неустойчива, а верхняя и нижняя – устойчивы (Рис. 2.4.7).

Есть еще один путь графического представления результатов – это трехмерное изображение. Этот метод содержит всю информацию о поведении системы во всех проекциях. Построим поверхность неподвижных точек над плоскостью , называемую «катастрофой сборки». Термин катастрофа мотивирован тем, что при изменении параметров состояние системы может «сорваться» с верхней поверхности на нижнюю (с нарушением непрерывности). Этот прыжок может привести к катастрофическому изменению режима устойчивости. Далее в тексте учебного пособия мы приведем некоторые примеры катастроф.

Рис.2.4.8