Транскритическая бифуркация

В некоторых моделях неподвижная точка существует при всех значениях параметра, однако может менять тип устойчивости. Изменение типа устойчивости неподвижной точки дает транскритическая бифуркация. Нормальная форма транскритической бифуркации есть

.

Это уравнение похоже на логистическое, но сейчас мы предполагаем, что и могут принимать любые действительные значения. Рисунки 2.2.1 – 2.2.3 демонстрируют векторное поле при варьировании параметра. Неподвижная точка существует при всех значениях . Для имеется неустойчивая точка и устойчивая . При неустойчивая точка сливается с устойчивой в начале координат (шунт). Наконец, при в нуле остается неустойчивая точка, а , «убегающая» от нуля, устойчива. В данном случае говорят, что точки обмениваются типом устойчивости.

Рис. 2.2.1 Рис. 2.2.2 Рис. 2.2.3

Принципиальная разница между транскритической бифуркацией и бифуркацией «седло-узел» заключается в том, что в транскритическом случае неподвижные точки не исчезают после бифуркации, они лишь «меняются устойчивостями». На Рис.2.2.4 показана бифуркационная диаграмма.

Рис.2.2.4

Пример 2.2

Показать, что система первого порядка

подвергается транскритической бифуркации при , причем параметры должны удовлетворять условию, подлежащему определению. Это условие определяет в пространстве параметров бифуркационную кривую. Найти в этом случае приближенное значение (неподвижной точки).

Решение. Прежде всего, отметим, что начало координат будет неподвижной точкой при любых значениях и . Для малых разложим в ряд Тейлора и получим

.

Тогда исходное уравнение приведется к виду

.

Отбросим слагаемые порядка малости выше второго и получим

.

Легко видеть, что транскритическая бифуркация в начале координат произойдет, если . Это и есть условие для бифуркационной кривой. Ненулевая неподвижная точка получается из приближенного уравнения

Эта формула приближенно определяет вторую неподвижную точку, если только близко к .

Пример 2.3

Проанализировать динамику системы в окрестности точки и показать, что система претерпевает транскритическую бифуркацию при некотором значении . Найти новые переменные и так, чтобы система превратилась в приближенную нормальную форму возле точки бифуркации.

Решение. Точка является неподвижной для всех значений параметра. Введем новую переменную , где - малое. Тогда получаем

;

;

;

.

Таким образом, транскритическая бифуркация происходит при .

Для преобразования уравнения к нормальной форме мы должны иметь коэффициент при равный 1. Положим , где – некая функция от , подлежащая определению. Подставим замену в уравнение и получим

.

Положим , откуда . При таком уравнение примет вид

.

Теперь пусть и и мы получаем приближенную нормальную форму

.