Упражнения к Разделу 2

1. В каждом из следующих упражнений нарисовать все качественно различные фазовые портреты, определяемые параметром . Показать, что бифуркация седло-узел имеет место при некотором критическом значении параметра и найти это значение. Нарисовать бифуркационную диаграмму.

1.1. ;

1.2. ;

1.3. ;

1.4. .

2. Нарисовать фазовые портреты для систем

(а) ;

(в) .

В этих случаях производная в точке бифуркации равна нулю. Есть ли в этой связи какая-либо особенность поведения решений систем?

3. В каждом из следующих упражнений нарисовать все качественно различные фазовые портреты, определяемые параметром . Показать, что имеет место транскритическая бифуркация при некотором значении параметра и найти это значение. Нарисовать бифуркационную диаграмму.

3.1. ;

3.2. ;

3.3. ;

3.4. .

4. В каждом из следующих упражнений нарисовать все качественно различные типы векторных полей в зависимости от изменения параметра . Показать, что вильчатая бифуркация происходит при некотором критическом значении и расклассифицировать бифуркации по подтипам. Нарисовать бифуркационные диаграммы зависимостей от .

4.1. ;

4.2. ;

4.3. ;

4.4. .

5. В каждом из следующих случаев найти величину , при которой происходит бифуркация, и определить тип бифуркации. Нарисовать бифуркационную диаграмму зависимости от .

5.1. ;

5.2. ;

5.3. ;

5.4. ;

5.5. ;

5.6. .

6. Рассмотреть систему (в этой задаче использовать СКМ).

6.1. Для найти все неподвижные точки и определить их тип. Вывести фазовый портрет;

6.2. Показать, что при имеется только одна неподвижная точка и определить ее тип. Привести пример фазового портрета.

6.3. Расклассифицировать все бифуркации для положительных ;

6.4. Для найти приближенную формулу для отыскания бифуркационного значения ;

6.5. Расклассифицировать все бифуркации для отрицательных ;

6.6. Вывести бифуркационную диаграмму для и указать устойчивые ветви.

7. Рассмотрим систему , которая задает субкритическую вильчатую бифуркацию.

7.1. Найти аналитические выражения для неподвижных точек при различных ;

7.2. Нарисовать в каждом случае фазовый портрет;

7.3. Вычислить , при котором ненулевая неподвижная точка рождает бифуркацию седло-узел.

8. Рассмотреть потенциал для системы . Вычислить значение , при котором имеет три равных локальных минимума. В равновесной статистической механике это называется фазовым переходом 1­–го порядка в точке . При этом значении параметра система с равной вероятностью находится в состоянии, соответствующем одному из трех минимумов. Замерзание воды до состояния льда – самый известный пример (пар-вода-лед).

9. Рассмотрим систему . Если и , система подвергается транскритической бифуркации. Следует показать, как бифуркационная диаграмма от зависит от «неполного» параметра .

9.1. Нарисовать бифуркационную диаграмму для уравнения в случаях , и ;

9.2. Изобразить области на плоскости , соответствующие качественно различным векторным полям и идентифицировать бифуркации, определяемые границами этих областей;

9.3. Нарисовать графики потенциалов для всех различных областей на плоскости .

10. Рассмотрим систему , где . Если мы имеем нормальную форму суперкритической вилки. Целью упражнения является изучение влияния нового параметра .

10.1. Для каждого имеется некая бифуркационная диаграмма зависимости от . Когда меняется, диаграммы также могут меняться. Нарисовать все принципиально различные диаграммы, которые могут возникнуть в зависимости от ;

10.2. Проанализировать результаты, полученные в предыдущем пункте. Бифуркации определяются границами областей на плоскости . Определить тип бифуркаций на границах областей.

11. Что произойдет, если в систему, имеющую бифуркацию седло-узел, добавить «неполный» параметр?

12. Рассмотрим модель взрывного роста популяции насекомых (ВР). Показать, что неподвижная точка уравнения всегда неустойчива.

13. Используя уравнения и , построить графики и . Определить поведение этих кривых вблизи точек и .

14. Уравнение представляет простейшую модель рыбной ловли. В отсутствие рыболовов популяция рыб растет предположительно согласно логистической кривой. Влияние рыбаков на численность популяции определяется членом , который говорит о том, что рыба ловится в постоянном объеме , не зависящем от . Это предполагает, что рыбаки не беспокоятся об оставшейся рыбе, и каждый день ловят одно и то же ее количество.

14.1. Показать, что система может быть переписана в безразмерной форме как

,

где определены по ситуации;

14.2. Нарисовать фазовые портреты для различных величин ;

14.3. Показать, что бифуркация определяется некоторым значением и классифицировать эту бифуркацию;

14.4. Обсудить поведение популяции при и . Дать биологическую интерпретацию в каждом случае.

15. В примере 2.3 мы показали, как получить приближенную нормальную форму в окрестности транскритической бифуркации для уравнения вида . Сейчас нужно показать, что член может быть отброшен благодаря соответствующей замене переменной, т.е. нормальная форма может быть получена точно, а не приближенно.

Рассмотрим систему , где . Попробуйте найти новую переменную так, чтобы система преобразовалась к виду . Очевидно, эта система лучше, потому что кубический член отсутствует, и ошибка не превзойдет 4-го порядка. Пусть , где должно быть выбрано позднее так, чтобы кубический член уничтожался в уравнении для . Это называется «почти тождественным» преобразованием, т.к. и практически равны, они отличаются только очень малым кубическим членом. Мы здесь не учитываем квадратичный член, поскольку он не требуется; это вы позднее увидите. Сейчас нужно переписать систему через ; вычисления потребуют нескольких шагов.

15.1. Показать, что «почти тождественное» преобразование может быть обращено в , и найти ;

15.2. Привести исходное уравнение к зависимости только от и получить его в форме , где зависит от , и ;

15.3. Выбрать так, чтобы ;

15.4. Нужно ли было условие ? Доказать.

16. Вильчатая бифуркация может быть названа «трифуркацией», т.к. получаются три ветви неподвижных точек при . Можете ли вы придумать пример «квадрифуркации», для которой при нет неподвижных точек, при имеется 4 ветви неподвижных точек? Распространить этот результат на любое число ветвей, если это возможно.

17. Используя СКМ определить зависимости от , где для уравнений:

17.1. ;

17.2. .

18. Пусть - потенциал, определяемый условием . Для следующих уравнений нарисовать график потенциала как функции от . Показать все различные случаи, включая бифуркацию при .

18.1. (седло-узел);

18.2. (транскритическая);

18.3. (субкритическая вилка).

19. Рассмотрим шарик на наклонной проволоке (стр 34).

19.1. Показать, что положение равновесия шарика удовлетворяет условию

;

19.2. Показать, что это уравнение может быть записано в безразмерной форме в виде

,

где , и - некие выбранные величины;

19.3. Провести графический анализ безразмерного уравнения для случаев и . Сколько равновесных положений имеется в каждом случае?

19.4. Пусть . Показать, что приближенное уравнение для состояния равновесия при малых , и имеет вид ;

19.5. Найти приближенную формулу для бифуркационной кривой «седло-узел» при малых , и ;

19.6. Показать, что точное уравнение бифуркационной кривой может быть записано в виде

,

где ;

19.7. Построить график бифуркационной кривой на плоскости .

20. Уравнение , где и , задает более гибкую и реальную модель рыбной ловли по сравнению с упражнением №14. Модель более реалистична по двум причинам: она имеет неподвижную точку для всех значений параметров, и коэффициент (объем) выловленной рыбы зависит от . Это означает, что когда популяция мала, труднее находить рыбу и улов снижается.

20.1. Дать биологическую интерпретацию параметра А;

20.2. Показать, что система может быть переписана в безразмерной форме как

,

с подходящим определением безразмерных величин , , и ;

20.3. Показать, что система может иметь 1, 2 или 3 неподвижных точки, зависящих от величин и . Определить устойчивость этих точек в каждом случае;

20.4. Определить динамику системы возле и показать, что бифуркация происходит при . Каков тип этой бифуркации?

20.5. Нарисовать диаграмму устойчивости системы в пространстве . Могут ли здесь быть движения фазовой точки по петле?

21. В одной из первых работ по эпидемиологии Кермак и Маккендрик (1927) предложили следующую простую модель течения эпидемии. Пусть популяция состоит из трех классов: - число здоровых людей; - число больных людей: - число умерших. Предположим, что размер популяции остается постоянным, за исключением умерших во время эпидемии. Тогда модель имеет вид

,

где и - положительные константы. Уравнения системы основаны на двух предположениях:

(1) Здоровые люди заражаются с коэффициентом, пропорциональным . Это верно, если здоровые и больные люди сталкиваются с частотой, пропорциональной их числу, и если каждая такая «встреча» с постоянной вероятностью ведет к заражению;

(2) Больные люди умирают с постоянным коэффициентом, равным .

Целью этого упражнения является понижение порядка модели. Как известно, система трех линейных дифференциальных уравнений может быть сведена к одному уравнению третьего порядка. Мы сведем систему к одному уравнению первого порядка, чтобы можно было воспользоваться нашими методами анализа.

21.1. Показать, что , где - константа;

21.2. Используя уравнения для и , показать, что , где ;

21.3. Показать, что удовлетворяет уравнению 1–го порядка ;

21.4. Показать, что это уравнение может быть обезразмерено как ;

21.5. Показать, что и ;

21.6. Определить число неподвижных точек и исследовать их устойчивость;

21.7. Показать, что максимум определяет то самое время, в котором достигаются максимумы и . Это время называется пиком эпидемии ;

21.8. Показать, что если , то возрастает при и достигает своего максимума при . Показать, что, в конце концов, убывает до 0;

21.9. С другой стороны, показать, что при эпидемии не происходит ;

21.10. Условие - пороговое для эпидемии. Дайте биологическую интерпретацию этого случая.