Вильчатая бифуркация

Многие физические системы формулируются таким образом, что уравнения, определяющие систему, обладают симметрией того или иного рода. Уравнения могут быть инвариантны относительно преобразований , , или в одномерном случае . Все такие системы имеют неподвижную точку в нуле. Можно было бы доказать, что в таких системах невозможна транскритическая бифуркация или бифуркация «седло-узел». В точке бифуркации изменяется устойчивость тривиального (нулевого) решения, и с одной стороны появляется в силу симметрии пара новых положений равновесия. Есть два различных типа вильчатой бифуркации. Простейший из них называется суперкритической бифуркацией и сейчас будет рассмотрен.

Нормальная форма суперкритической вильчатой бифуркации имеет вид

.

Отметим, что это уравнение инвариантно относительно замены на . Рассмотрим три принципиально различных варианта векторного поля в зависимости от значения . Когда , начало координат есть единственная неподвижная точка и она устойчивая. Если начало все еще устойчиво, но эта устойчивость слабая, т.к. линейный член исчезает (и производная ). Здесь решения стремятся к тривиальному очень медленно. Наконец, когда , начало координат становится неустойчивым. Две новые неподвижные точки возникают по обе стороны от нуля при . Это показано на рисунках 2.3.1 – 2.3.3.

Рис. 2.3.1 Рис. 2.3.2 Рис. 2.3.3

Смысл термина «вильчатая бифуркация» становится ясным, если построить бифуркационную диаграмму (Рис. 2.3.4).

Рис.2.3.4

Пример 2.4

Уравнения вида используются в статистической механике и в нейронных сетях. Показать, что это уравнение подвергается суперкритической бифуркации при изменении параметра . Сделать рисунки для , и .

Решение. Для отыскания неподвижных точек мы используем прием, рассмотренный в Примере 1.2. Графики и для различных значений показаны на рисунках.

Рис. 2.3.5 Рис. 2.3.6 Рис. 2.3.7

Для нахождения неподвижных точек (кроме , которая всегда присутствует) надо решить численно уравнение . Но есть и более простой путь. Будем считать независимой переменной , а - зависящим от него. Тогда неподвижные точки задаются соотношением

для каждого . При построении графика расположим по горизонтальной оси, а – по вертикальной. Так получается бифуркационная диаграмма. Зависимость от контрольного параметра обычно бывает проще, чем зависимость от .

Пример 2.5

Нарисовать график потенциала для системы в случаях , и .

Рис. 2.3.8 Рис. 2.3.9 Рис. 2.3.10

Решение. Мы определили потенциал системы как решение уравнения . Поэтому мы должны решить вначале это уравнение. Имеем

.

Здесь мы отбросили произвольную постоянную, поскольку она ничего принципиально не меняет (cм. графики выше).

При в нуле имеется минимум тока ( устойчива), при (бифуркационное значение) - «плоский» минимум, при локальный максимум возникает в нуле, а два локальных минимума расположены симметрично с каждой стороны от нуля.

Субкритическая вильчатая бифуркация.

В суперкритическом случае, рассмотренном выше, кубический член играет стабилизирующую роль при . Если кубический член входит в уравнение со знаком «+», как, например, в

,

то он выступает как дестабилизатор, и мы встречаемся с субкритической бифуркацией. На следующем рисунке представлена бифуркационная диаграмма для этого случая.

Рис.2.3.11

По сравнению с прежней ситуацией вилка развернулась в обратную сторону. Ненулевые неподвижные точки - неустойчивые и бифуркация происходит при (слева, «под нулем», sub-), откуда и вытекает ее название. Важно, что начало координат по-прежнему устойчиво при и неустойчиво при , но здесь кубический член не противодействует неустойчивости, а наоборот, ей помогает. Дело в том, что оба слагаемых имеют одинаковый знак, а это значительно увеличивает скорость удаления траекторий от тривиального решения. Здесь траектории могут достигать бесконечности за конечное время, стартуя из точки (эффект взрыва).

В реальных физических системах этот эффект обычно тормозится влиянием членов более высокого порядка. Предположим, что система симметрична относительно замены и первый стабилизирующий член равен . Не умаляя общности можно считать, что канонический пример такой системы с субкритической бифуркацией есть

.

Детальный анализ этого уравнения вам предлагается сделать в упражнениях, а здесь мы приведем главные результаты. Рисунок 2.6 представляет бифуркационную диаграмму уравнения. Для малых картинка выглядит почти как на Рис.2.3.11: начало координат локально устойчиво при , и две ветви неус-

Рис.2.3.12

тойчивых неподвижных точек сливаются в начале при . Новым является наличие еще двух устойчивых ветвей (еще двух неподвижных точек), которые возникают вместе с первой парой при . Эти устойчивые ветви существуют при всех , в то время как неустойчивые ветви существуют только при ; в этой области начало координат является локально, но не глобально устойчивым.

Существование различных устойчивых состояний допускает возможность скачков в изменении , когда меняется . Предположим, что мы стартуем в точке , и параметр медленно возрастает из отрицательной области. Тогда траектория остается в до тех пор, пока не достигнет нуля, где начало координат теряет устойчивость. Теперь незначительное увеличение скачком переместит состояние системы на одну из устойчивых ветвей. При дальнейшем увеличении частица удаляется в бесконечность по этой ветви. Если предположить, что убывает, то частица движется влево по устойчивой ветви. Когда она достигнет точки (или ), частица вновь скачком возвращается на горизонтальную ось. В дальнейшем мы еще вернемся к этой ситуации.