Раздел 1. Основные определения

Ключевые понятия: одномерное уравнение, векторное поле (поток), неподвижная точка, фазовый портрет и фазовая точка, типы неподвижных точек, логистическое уравнение, линеаризация системы.

Знакомство с динамическими системами мы начнем с самого простого случая – одномерного автономного уравнения

,

где - действительная функция, - гладкая действительная функция от х. Убедимся в том, что геометрическая интерпретация уравнения на фазовом пространстве дает хорошую информацию о свойствах решений. Пусть нужно решить нелинейное уравнение

.

Его решение имеет вид

.

Результат не слишком удобен для анализа. Например, на вопрос как ведет себя решение, проходящее через точку при t, стремящемся к плюс бесконечности, ответить не так то просто, если использовать только полученную формулу. В то же время, графический анализ оказывается простым и ясным. Для данного уравнения фазовым пространством будет служить прямая x, на которой располагаются траектории системы. Каждой точке прямой соответствует значение и значение , поэтому мы говорим, что уравнение задает на фазовой прямой векторное поле: оно показывает направление вектора скорости для каждого х. Легко видеть, что направление вектора зависит от знака правой части уравнения: там, где он положительный, функция возрастает (стрелка вправо), там, где он отрицательный – убывает (стрелка влево). Наконец, на прямой имеются точки, в которых производная равна нулю. Здесь функция постоянна, при изменении времени она не меняется, поэтому такие точки называются неподвижными. Неподвижные точки это тоже траектории системы. На рисунке приведен фазовый портрет уравнения (системы) для с неподвижными точками (слева–направо) .

Векторное поле на рисунке можно трактовать как «поток жидкости» с меняющимся направлением течения. Если поток течет вправо, если , то влево. В точках, где , потока нет, поэтому они и называются неподвижными. Имеется два типа неподвижных точек: точки с «втекающим» потоком и точки с «вытекающим» потоком. Первые представляют устойчивые неподвижные точки (иначе аттракторы или стоки), вторые – неустойчивые неподвижные точки (иначе репеллеры или источники).

Рис. 1.1

Для анализа поведения решения, удовлетворяющего начальным условиям , мы помещаем воображаемую частицу (называемую фазовой точкой) на фазовую прямую и наблюдаем, как ее несет поток. Теперь можно интерпретировать решения дифференциального уравнения и ответить на поставленный вопрос следующим образом. Частица, стартующая в , движется направо с возрастающей скоростью до тех пор, пока при не достигнет максимума скорости. Затем она замедляет свое движение и, в конце концов, «входит» в неподвижную точку слева.

Рис. 1.1 показывает, что если в начальной точке, то частица направляется направо и асимптотически приближается к ближайшей неподвижной точке. Аналогично, если , то частица асимптотически приближается к левой неподвижной точке. Наконец, если , то x остается постоянной. Неподвижная точка называется устойчивой, если поток входит в нее, (все траектории «притягиваются» к ней) и неустойчивой, если поток выходит из нее (все траектории «отталкиваются»). Тип фазового портрета системы полностью определяется ее неподвижными точками. Неподвижные точки находятся из уравнения

;

они соответствуют точкам покоя потока. На Рис. 1.1 черные неподвижные точки устойчивы, а пустые – неустойчивы.

В терминах дифференциальных уравнений неподвижная точка представляет равновесное решение, называемое также постоянным, т.к. если (неподвижной точке), то для всех . Равновесие называется устойчивым, если все достаточно малые возмущения с течением времени гасятся, и неустойчивым в противном случае.

Пример 1.1

Найти все неподвижные точки системы и расклассифицировать их.

Решение. Для нахождения неподвижных точек решим уравнение . Неподвижные точки Построим график и изобразим векторное поле (Рис.1.2).

Рис. 1.2

Ясно, что точка устойчива, а точки и – неустойчивы. Заметим также, что определения устойчивости (и неустойчивости) основаны на малых возмущениях. При больших возмущениях частица может «уйти» от неподвижной точки. Поэтому неподвижная точка является только локально, но не глобально устойчивой.

Пример 1.2

Нарисовать фазовый портрет уравнения и определить устойчивость всех неподвижных точек.

Решение. График правой части уравнения не столь очевиден, как в предыдущем примере. Поэтому изобразим два графика: и . На рисунке 1.3 видно, что меньшая из двух неподвижных точек неустойчива, а большая устойчива. Заметим, что мы определили характер неподвижных точек, не находя их конкретных значений. Впрочем, эти значения и не выражаются через элементарные функции.

Использование системы Maple значительно упрощает эту задачу. Можно построить график функции и найти неподвижные точки аналитически и (или) приближенно. Например, введем следующие команды:

> solve(ln(x)-x/2+1,x); evalf(%); plot(ln(x)-x/2+1,x=0..10);

Рис. 1.3

Результатами будут корни уравнения (точные и приближенные) и график функции (на Рис. 1.4).

Рис. 1.4

Пример 1.3 Рост популяции организмов

Процесс роста популяции организмов может быть задан дифференциальным уравнением (Мальтус)

,

где – количество особей в момент t, – коэффициент роста популяции. Уравнение имеет решение , где определяется начальным количеством особей. Разумеется, это очень упрощенная модель, которая предсказывает популяции экспоненциальный рост. Однако такой рост не может продолжаться слишком долго, он сдерживается ограниченностью ресурсов и другими причинами. Предполагается, что коэффициент роста для человечества остается близким к начальному значению при малых и начинает убывать, когда становиться достаточно большим. Для очень больших популяций этот коэффициент, убывая, переходит через 0 и становится отрицательным. В таких популяциях коэффициент смертности превышает коэффициент рождаемости. Если предположить, что коэффициент убывает линейно относительно , то мы приходим к так называемому логистическому уравнению

,

где – значение , при котором коэффициент роста становится равным нулю. Это уравнение известно с 1838 года (Ферхюльст).

Вновь применим рассмотренный выше графический способ. Построим фазовую прямую и график правой части логистического уравнения. На Рис.1.5 представлен фазовый портрет для и .

Рис. 1.5

Мы видим, что – неустойчивая неподвижная точка, а – устойчивая. Малые популяции растут и вскоре удаляются от точки . С другой стороны, если близко к , то рост осуществляется с убывающей скоростью и при . Таким образом, при любом начальном значении , популяция стремиться достичь значения . Модель не допускает спонтанного развития потому, что если , то при любом .

Эта модель вначале была успешно апробирована на многих конкретных примерах популяций организмов и к началу прошлого века считалась универсальным законом. Однако соответствие модели реальной действительности в более сложных случаях (например, для организмов с полным циклом развития: яйцо – личинка – куколка - насекомое) оказалось нарушенным. Для этих организмов предполагаемое асимптотическое приближение к оптимальному значению не наблюдалось. Вместо этого наблюдались постоянные флуктуации после некоторого начального периода логистического роста. Поневоле приходит в голову знаменитое изречение Бриллюэна: «Математическая модель так же отличается от реальности, как глобус от Земли». Правда, пока ничего лучше математической модели человек не придумал.

Существуют и другие способы определения устойчивости неподвижных точек. Рассмотрим, например, линеаризацию системы в неподвижной точке. Пусть – неподвижная точка и - малые возмущения в ее окрестности. Продифференцируем это равенство по и получим

,

или .

Разложим правую часть последнего соотношения в ряд Тейлора в окрестности

.

Далее, поскольку , получаем

.

Если , то слагаемым можно пренебречь, и мы можем написать приближенное уравнение

.

Это линейное относительно уравнение называется линеаризацией системы в точке . Оно показывает, что возмущения возрастают, если и убывают (утихают), если . Если , устойчивость или неустойчивость неподвижной точки определяется членами, порядка выше первого.

Величина определяет наклон касательной к кривой в точке . Предыдущие примеры показывают, что наклон всегда отрицателен в устойчивой неподвижной точке и положителен в неустойчивой. Что же здесь нового? Новое в том, что мы нашли меру устойчивости (неустойчивости); она определяется величиной . Модуль играет роль коэффициента роста или затухания возмущений в неподвижной точке.

Пример 1.4

Используя линеаризацию определить устойчивые и неустойчивые неподвижные точки уравнения

.

Решение. Неподвижные точки определяются из уравнения . Имеем

.

Тогда и . Отсюда следует, что неустойчива, если нечетное и устойчива, если четное.

Пример 1.5

Исследовать на устойчивость неподвижные точки уравнения

.

Решение. Применим систему Maple. Вначале решим уравнение , затем построим график правой части дифференциального уравнения.

> restart:

> _EnvAllSolutions:=true:

> solve(cos(x)-cos(2*x),x);

> plot(cos(x)-cos(2*x),x=-2*Pi..2*Pi,xtickmarks=[-6,-4,-2,0,2,4,6],ytickmarks=[-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1],thickness=3,color=black);

Рис. 1.6

Здесь – величина, принимающая значения 0 и 1 поочередно, – произвольное целое число. Полученные результаты говорят, что уравнение имеет неподвижные точки трех типов: устойчивые , неустойчивые и, так называемые, полуустойчивые (иначе шунты) . Полуустойчивые неподвижные точки характеризуются тем, что с одной стороны решения притягиваются к ним, а с другой – отталкиваются. В нашем уравнении шунты притягивают решения слева. В полуустойчивых точках производная равна нулю, поэтому линеаризация не дает результата.

Пример 1.6

Найти решение задачи Коши , .

Решение. Это уравнение имеет тривиальное решение и решение . Таким образом, единственность нарушается (из-за разрыва производной правой части уравнения). В этом случае нарушаются и все наши геометрические подходы, поскольку неизвестно, как будет двигаться фазовая точка – по прямой или по кривой . Как известно из курса дифференциальных уравнений, здесь имеется бесконечное множество решений (склеек), удовлетворяющих заданным начальным условиям. Приведем теорему, выражающую достаточные условия существования и единственности решения уравнения .

Теорема: Если и непрерывны на открытом промежутке и , то начальная задача , имеет единственное решение на некотором промежутке с центром в точке .

Эта теорема, однако, не гарантирует, что решение существует всюду, как показывает следующий пример.

Пример 1.7

Найти область существования и единственности решения задачи Коши

,

Решение. Правая часть уравнения непрерывна и имеет непрерывную производную для всех . Тогда, согласно теореме, решение для некоторых начальных условий существует и единственно. Однако мы ничего не можем сказать о существовании решения для всех ; теорема обеспечивает существование и единственность только на некотором промежутке, возможно малом. Например, пусть . Найдем решение задачи.

> dsolve({diff(x(t),t)-1-x(t)^2,x(0)=0},x(t));

Это решение существует (и непрерывно) только на интервале . За пределами этого интервала нет решения, удовлетворяющего данным начальным условиям. Заметим, что в этой задаче мы получили решения достигающие бесконечности за конечное время. Этот феномен называется взрыв, раздувка. Как подчеркивает название, эта система может служить моделью быстротекущих физических или химических процессов.

Имеется много способов обобщения теоремы существования и единственности. Сейчас мы не будем тревожиться по поводу проверки условий теоремы; большинство векторных полей, рассматриваемых нами, будут достаточно гладкими.

Уравнению соответствует поток на прямой. Если поток монотонен, то фазовая точка не может возвратиться на начальное место, поэтому периодические движения в данном случае невозможны (у фазовой точки нет обратного пути). По той же причине невозможны также и более общие колебательные движения.

Другой путь наглядного исследования поведения системы первого порядка основан на физическом смысле потенциальной энергии. Мы изображаем частицу, «скользящую по стенке потенциала» , где потенциал определяется из уравнения

.

Мы предполагаем, что в данной модели отсутствует трение. Знак «минус» в определении потенциала вытекает из физического смысла, т.к. частица должна двигаться «под горку». Поскольку , то уравнение для потенциала, соответствующее исходному уравнению, будет иметь вид

.

Таким образом, потенциал убывает вдоль траекторий, и частица всегда движется в сторону уменьшения потенциала. Локальный минимум потенциала соответствует устойчивой неподвижной точке, а локальный максимум – неустойчивой.

Пример 1.8

Построить график потенциала системы и найти все неподвижные точки.

Решение. Интегрируя уравнение , получаем . Очевидно, что единственной и устойчивой неподвижной точкой будет (см. Рис.1.7).

Рис.1.7

Рис.1.8

Пример 1.9

Построить график потенциала системы и найти точки равновесия.

Решение. Имеем

.

Локальные минимумы этой функции находятся в точках и и соответствуют устойчивым равновесиям, локальный максимум в точке соответствует неустойчивому равновесию (см. Рис.1.8).