Упражнения к Разделу 1

1. Рассмотрим уравнение , задающее поток фазовых точек на прямой.

1.1. Найти все неподвижные точки потока.

1.2. В каких точках скорость движения потока налево наибольшая?

1.3. В каких точках имеется наибольшее ускорение движения потока направо?

1.4. Нарисовать фазовый портрет.

2. Для следующих уравнений найти неподвижные точки и определить их тип, нарисовать фазовые портреты, найти решения.

2.1. ;

2.2. ;

2.3. ;

2.4. ;

2.5. .

3. Построить уравнение, соответствующее фазовому портрету

4. Для каждого из следующих случаев найти уравнение с указанными условиями. Если такое уравнение составить невозможно, объяснить причину (во всех случаях – гладкая функция).

4.1. Все точки прямой неподвижные;

4.2. На прямой нет неподвижных точек;

4.3. Неподвижные точки , остальные точки не являются неподвижными;

4.4. Имеется четыре неподвижные точки и все неустойчивы.

5. Найти уравнение, поле направлений которого соответствует приведенному на рисунке.

6. Применить линеаризацию, если это возможно, для классификации неподвижных точек следующих систем.

6.1. ;

6.2. ;

6.3. ;

6.4. ;

6.5. , где – произвольное действительное число.

7. Верно ли, что любое решение уравнения достигает бесконечности за конечное время независимо от начальных условий?

8. Единственно ли решение задачи Коши ? Тот же вопрос для задачи .

9. Рассмотреть уравнение . Есть ли у него периодические решения? Если да, то, как это согласуется с текстом пособия, где утверждается, что одномерные системы не осциллируют?

10. Для каждой из следующих систем написать функцию потенциала и исследовать неподвижные точки на устойчивость.

10.1. ;

10.2. ;

10.3. ;

10.4. ;

10.5. .

11. Скорость парашютиста задается уравнением , где – масса парашютиста, – ускорение свободного падения, – коэффициент сопротивления воздуха.

11.1. Найти решение начальной задачи при условии ;

11.2. Найти . Этот предел называется финальной скоростью (если парашют не раскрылся);

12. Решить аналитически логистическое уравнение .

13. Рассмотрим модель химической реакции, в которой одна молекула вещества F комбинируется с одной молекулой вещества G и получается две молекулы вещества G. Это значит, что G стимулируется веществом F (автокатализ). Реакция может идти и в обратную сторону, т.е. из 2G получается F и G.

Согласно закону действия масс, коэффициент элементарной реакции пропорционален концентрации продукта в этой реакции. Считаем, что имеется избыток вещества F, так, что его концентрацию можно считать константой. Обозначим концентрации веществ F и G соответственно f (константа!) и g. Тогда кинетическое уравнение для g будет иметь вид

,

где и – положительные коэффициенты.

13.1. Найти все неподвижные точки системы и расклассифицировать их;

13.2. Нарисовать графики для нескольких различных начальных условий .

14. Для некоторых видов организмов наибольший темп прироста наблюдается для средних значений s. Это называется Allee–эффектом. Например, представьте, как трудно найти партнера, если количество особей мало, и какова конкуренция за продукты питания, если количество особей велико.

14.1. Показать, что уравнение обладает Allee–эффектом, если некоторые константы, удовлетворяющие определенным условиям;

14.2. Найти все неподвижные точки системы и расклассифицировать их;

14.3. Есть ли разница между данным решением и решением логистического уравнения? Каковы качественные различия, если они есть?

15. В этой задаче рассматривается физическая ситуация, в которой неединственность решения является естественной и очевидной.

Рассмотрим ковш (для воды) с отверстием на дне. Если вы видите пустой ковш и лужу воды под ним можете ли вы определить, сколько времени прошло от момента, когда ковш был полон? Очевидно, нет. Может быть, ковш был полным 1 минуту назад, а может быть, 10 минут назад. Решение соответствующего дифференциального уравнения оказывается неединственным.

Приведем упрощенную модель этой ситуации. Пусть – высота слоя воды в ковше в момент ; – площадь отверстия; – площадь сечения ковша; – скорость воды, проходящей через отверстие.

15.1. Показать, что ;

15.2. Получите дополнительное уравнение, используя закон сохранения энергии. Вначале найдите изменение потенциальной энергии в системе, если плотность воды , затем найдите кинетическую энергию воды, выливающейся из ковша. Предполагая, что потенциальная энергия преобразуется в кинетическую получить уравнение ;

15.3. Комбинируя 15.1 и 15.2, получить автономное уравнение для ;

15.4. Показать, что решение уравнения 5.3 неединственно при и .

16. Составить функцию потенциала для системы при различных и исследовать устойчивость неподвижных точек.

17. Написать процедуру нахождения неподвижных точек одномерного автономного уравнения (системы) и определения их типа. Использовать Maple или другую СКМ.

18. Написать процедуру определения типа неподвижных точек одномерного автономного уравнения по линеаризации.

19. Написать процедуру построения фазового портрета одномерного автономного уравнения (Рис. 1.1).