Определения и примеры. До сих пор мы концентрировались на уравнении , фазовый портрет которого располагался на прямой

До сих пор мы концентрировались на уравнении , фазовый портрет которого располагался на прямой. Сейчас займемся специальным типом уравнений и соответствующим фазовым пространством. Это уравнение

,

с соответствующим векторным полем на окружности. Здесь - фазовая точка на окружности, а - вектор скорости, определяемый правилом . Как и прямая, окружность одномерна, но она имеет важную особенность: поток одного направления возвращает частицу в стартовое положение. Так становятся доступными периодические решения. Векторное поле на окружности иллюстрирует большинство основных моделей осциллирующих систем. Однако, во всех остальных отношениях потоки на окружности похожи на потоки на прямой, поэтому данный раздел будет коротким. Мы обсудим динамику некоторых простых осцилляторов, и покажем, как соответствующие уравнения возникают в различных приложениях.

Пример 3.1

Построить векторное поле на окружности, соответствующее уравнению

.

Решение. Мы рассматриваем обычные координаты на окружности: нуль справа и возрастающий угол изменяется против часовой стрелки. Для построения векторного поля вначале найдем неподвижные точки, определяемые уравнением . Получаем и . Поскольку косинус положителен в правой полуплоскости и отрицателен – в левой, то на правой полуокружности поток течет против часовой стрелки, а на левой – по часовой стрелке. Поэтому точка устойчива, а точка неустойчива.

Пример 3.2

Объяснить, почему мы не можем рассматривать уравнение на окружности, когда .

Решение. Дело в том, что в рассматриваемых условиях взаимнооднозначного соответствия между точками окружности и прямой нет. Например, точки и на прямой различны, а на окружности одинаковы. В то же время векторное поле в них разное, т.к. , а . Значит, мы можем применять окружность только для таких полей, когда в каждой точке окружности определено только одно значение . Отсюда следует, что функция должна иметь период (не обязательно наименьший) . Более того, эта функция должна быть достаточно гладкой, чтобы гарантировать существование и единственность решений.