Инвестиции в В 9 страница

Обозначим через г количество времени, которое только что прибывший клиент проведет в системе от момента прибытия до завершения обслуживания. Исходя из дисциплины очереди FCFS, если в системе уже находится п клиентов, которые по­ступили в систему перед только что прибывшим, то

x = t[ + t₂ +... + /„,.,,

где t\ — время, необходимое для завершения обслуживания клиента, который уже на­ходится в средстве обслуживания системы, a t_v t₃,...,<„ — интервалы времени, которые потребуются для обслуживания п-1 клиентов, которые находятся в очереди. Вели­чина £_п+1 представляет собой время обслуживания только что прибывшего клиента.

Обозначим через ш(т\п+1) условную плотность вероятности г, где условием служит наличие в обслуживающей системе п клиентов на момент прибытия нового. Поскольку время обслуживания в системе распределено по экспоненциальному за­кону, который обладает свойством отсутствия последействия (раздел 17.3), вели­чина /| также распределена по экспоненциальному закону. Следовательно, г пред­ставляет собой сумму п + 1 независимых случайных величин, каждая из которых подчиняется одному и тому же экспоненциальному распределению. Как известно из теории вероятностей, в этом случае функция ш(т\ п + 1) будет плотностью веро­ятности гамма-распределения с параметрами ри п + 1. Отсюда следует, что

Этот пункт можно пропустить без ущерба для понимания дальнейшего материала.

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 661

w(t) = ХЧтI п ₊ \)р„ = Х^ц(ц/)'^е"(1-р)р" = /1=0 /1=0 "!

=(1-_Р)и_е-|;^-=ц(1-р)_е-<''^р)\ т>о.

п=о Л!

Таким образом показано, что случайная величина г имеет экспоненциальное рас­пределение с математическим ожиданием W_t = 1/Д1 - р).

Пример 17.6.3

В модели работы автомойки из примера 17.6.2 вполне обоснованным является предположение о том, что обслуживание выполняется в соответствии с дисципли­ной очереди FCFS. Определим надежность использования величины W_s в качестве оценки времени ожидания в системе. Для этого оценим часть клиентов, время ожидания которых превышает W_s. Используя формулу W_t = - р), получаем

P{x>W_s} = \- |Цт)Л = е-^м(,-^р)г- = е¹ =0,368.

о

Следовательно, при дисциплине очереди FCFS для 37 % клиентов время ожидания превысит значение W_s. Этот процент кажется чрезмерно большим, особенно если учесть, что текущее значение W_s для рассматриваемой системы обслуживания также является большим (0,5 часа). Заметим, что найденная вероятность (е ' «0,368) не за­висит от интенсивностей Лир: модели (M/M/l): (FCFS/co/co); это в свою очередь оз­начает, что ее величину нельзя уменьшить. Следовательно, если мы проектируем систему на основании средней величины W_s, то следует ожидать, что для 36,8 % клиентов время ожидания превысит среднее время ожидания в системе.

Существует две возможности улучшить ситуацию: 1) увеличить интенсивность об­служивания клиентов р для уменьшения значения W_s до приемлемого уровня или 2) выбрать интенсивность обслуживания клиентов таким образом, чтобы вероятность того, что время ожидания превысит заранее определенную величину (скажем, 10 ми­нут), была меньше приемлемо малой величины (например, 10 %). Первая возмож­ность эквивалентна поиску такого значения //, что W_s <Т, а вторая — вычислению

такого значения р, что Р|т > Т \ < а, где Т и а должны определяться пользователем.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.3

1. В условиях упражнения 17.6.2.3 определите вероятность того, что для рас­крытия преступления детективу Коломбо потребуется больше одной недели.

2. В примере 17.6.3 вычислите следующее.

a) Среднеквадратическое отклонение для времени гожидания в системе.

b) Вероятность того, что время ожидания в системе изменится на половину среднеквадратического отклонения относительно своего среднего значения.

3. В примере 17.6.3 определите интенсивность обслуживания клиентов р таким образом, чтобы выполнялось условие W_t < 10 мин.

4. В примере 17.6.3 определите такое значение интенсивности обслуживания клиентов р., при котором будет выполняться условиеР{т> 10 мин.} < 0,1.

Глава 17. Системы массового обслуживания

5. Вернитесь к упражнению 17.6.2.5. Для привлечения большего числа посети­телей администрация ресторана решила предлагать бесплатно порцию про­хладительного напитка каждому клиенту, который вынужден ожидать более 5 мин. Если стоимость порции прохладительного напитка равняется 50 цен­там, то в какую сумму в среднем обойдется ресторану ежедневное угощение прохладительными напитками? Предполагается, что ресторан открыт для клиентов 12 часов в сутки.

6. Покажите, что для модели (М/М/1): (FCFS/co/co) системы обслуживания плотность вероятности времени пребывания клиентов в очереди имеет сле­дующий вид:

Модель (М/М/1): (GD/N/oo). Эта модель отличается от рассмотренной выше только тем, что система вмещает не более N клиентов (максимальная длина очере­ди равняется N - 1). Примерами обслуживающей системы такого типа служат про­изводственные ситуации, когда станок может иметь ограниченную зону складиро­вания заготовок, а также рестораны быстрого питания с одним пунктом обслуживания клиентов на автомобилях и т.д.

Ситуация в рассматриваемой модели такова, что, как только число клиентов в системе достигает N, ни один из дополнительных клиентов на обслуживание не принимается. Из этого условия следует, что

С помощью этой формулы найдите W.

р_п = р, п = 0, 1,...

Используя обозначение р = Л/р, имеем

Значение вероятности р₀ определяется из уравнения ~^р„ = \, которое принимает

я (1

Отсюда получаем

Следовательно,

, р*\.

п = 0,1,...,N.

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 663

Заметим, что в этой модели значение параметра р = А//и не обязательно должно быть меньше единицы, так как поступления клиентов в систему контролируются максимальной емкостью системы N. Это значит, что в данном случае в качестве ин­тенсивности поступления клиентов скорее выступает А^, нежели А. Так как кли­енты будут потеряны в том случае, если в системе находится N клиентов, тогда, как показано на рис. 17.5,

^потери ^Рп>

Следует ожидать, что будет меньше ju.

Среднее число клиентов в системе вычисляется по формуле

(i-p)p </f i-p**' l-p

p{l-(_JV + l)p^A'+V⁺

(1-p)(1-p^w*')

p*l

При p= 1 L_t = N/2 (проверьте!). Используя значения L_t и A^, можно также полу­чить выражения для W_t, W_q и L_q, как это сделано в подразделе 17.6.1.

Использование калькулятора для вычислений по формулам теории массового обслуживания является в лучшем случае громоздким (в последующих моделях формулы еще более сложные!). Поэтому автор рекомендует использовать про­граммное обеспечение TORA (или шаблон Excel chl7PoissonQueues.xls).

Пример 17.6.4

Рассмотрим ситуацию с автомойкой автомобилей из примера 17.6.2. Пусть станция имеет четыре места для стоянки автомобилей. Если все места на стоянке заняты, вновь прибывающие автомобили вынуждены искать другую автомойку. Хозяин хочет определить влияние ограниченного количества мест для стоянки автомоби­лей на потери клиентов.

В обозначениях, принятых в модели, максимальная вместимость системы равна N— 4 + 1 = 5. Исходными данными для программы TORA являются числа 4, 6, 1, 5 и оо соответственно, а выходные данные представлены на рис. 17.7.

Так как емкость системы равняется N=5, доля потерянных клиентов составляет р₅ = 0,04812, что при круглосуточной работе моечной станции эквивалентно потере (Ар_ъ) х 24 = 4 х 0,04812 х 24 = 4,62 автомобилей в день. Решение относительно уве­личения количества мест для стоянки автомобилей должно основываться на сумме потерь автомойки.

Анализируя ситуацию с другой стороны, замечаем, что среднее время пребывания клиента в обслуживающей системе ^ = 0,3736 (примерно 22 мин.), т.е. меньше 30 мин., как это было в примере 17.6.3, когда всем прибывающим автомобилям разрешалось встать в очередь. Уменьшение этого показателя обслуживающей сис­темы примерно на 25 % обеспечено за счет потери около 4,8 % потенциальных клиентов из-за ограниченного количества мест на стоянке автомобилей.

Глава 17. Системы массового обслуживания

Title: Example 17.6-4

Scenario 1- (М/М/1):(GD/5/infinity)

Lambda = 4,00000 Lambda eff = 3,80752

Ls= 1,42256 Ws = 0,37362

Mu = 6,00000

Rho/c = 0,66667

Lq = 0,78797

Wq = 0,20695

n Probability, pn Cumulative, Pn 0 0,36541 0,36541

0.24361 0.16241 0,60902 0,77143

n Probability, pn Cumulative, Pn 3 0,10827 0,87970

0,07218 0,04812 0,95188 1,00000

Рис. 17.7. Выходные результаты TORA для примера 17.6.4

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.4

1. В примере 17.6.4 определите следующие величины.

a) Вероятность того, что прибывший автомобиль сразу же попадет в моеч­ный бокс.

b) Среднее время ожидания клиентов до начала обслуживания.

c) Среднее количество свободных мест на стоянке автомобилей.

d) Вероятность того, что все места на стоянке автомобилей заняты.

e) Уменьшение (в процентах) среднего времени обслуживания клиентов при уменьшении среднего времени пребывания клиента в системе примерно до 10 мин. (Совет. Используйте метод проб и ошибок в работе с програм­мой TORA для решения этого упражнения.)

2. Рассмотрите ситуацию с автомойкой из примера 17.6.4. Определите такое количество мест для стоянки автомобилей, при котором процент автомоби­лей, которые не могут найти место на стоянке, ограничен значением 1 %.

3. Парикмахер Иосиф обслуживает клиентов в соответствии с экспоненциаль­ным распределением со средним значением 12 мин. Иосиф очень популярен среди клиентов, поэтому они прибывают (в соответствии с распределением Пуассона) с интенсивностью, намного большей, чем он может обслужить (шесть клиентов в час). На самом деле парикмахеру хотелось бы, чтобы ин­тенсивность поступления клиентов уменьшилась примерно до четырех кли­ентов в час. Поэтому он пришел к мысли ограничить количество стульев в зале ожидания, чтобы вновь прибывающие клиенты, обнаружив, что все стулья заняты, уходили в поисках иного обслуживания. Сколько стульев следует Иосифу разместить в зале ожидания, чтобы реализовать свой план?

4. Конечная сборка электрических генераторов на электропредприятии проходит в соответствии с распределением Пуассона со средним значением 10 генераторов в час. Затем генераторы с помощью ленточного конвейера транспортируются в отдел технического контроля для испытаний. На конвейере может находиться

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 665

максимум 7 генераторов. Электронный датчик автоматически останавливает конвейер, как только он заполнен, прекращая таким образом работу сборочного цеха до появления свободного места на конвейере. Время проверки генераторов имеет экспоненциальное распределение со средним значением 15 мин.

a) Какова вероятность того, что сборочный цех прекратит сборку генераторов?

b) Чему равняется среднее количество генераторов на конвейере?

c) Инженер утверждает, что перерывы в работе сборочного цеха можно уменьшить, увеличив производительность конвейера до такого уровня, который обеспечивает сборочному цеху возможность работать 95 % вре­мени без перерывов. Обосновано ли такое утверждение?

5. В кафетерии имеется не более 50 мест. Посетители прибывают в соответствии с пуассоновским распределением с интенсивностью 10 человек в час и обслу­живаются (каждый в отдельности) с интенсивностью 12 человек в час.

a) Какова вероятность того, что очередной посетитель не сможет пообедать в кафетерии из-за нехватки свободных мест?

b) Предположим, что три посетителя кафетерия (каждый из которых при­бывает случайным образом) хотели бы сидеть за одним столиком. Какова вероятность того, что их желание может быть выполнено? (Здесь предпо­лагается, что всегда есть возможность посадить упомянутых посетителей вместе, если в кафетерии имеется больше трех свободных мест.)

6. Пациенты прибывают в клинику в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 20 пациентов в час. В комнате ожидания могут разместиться не больше 14 человек. Время осмотра клиентов является экспоненциально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 8 мин.

a) Какова вероятность того, что очередной пациент не будет ожидать?

b) Какова вероятность того, что очередной пациент найдет свободный стул в комнате ожидания?

c) Каково среднее время пребывания пациента в клинике?

7. Ниже приведены значения вероятностей р_п нахождения п клиентов в обслу­живающей системе модели (М/М/1): (GD/5/оо).

п 0 1 2 3 4 5

р„ 0,399 0,249 0,156 0,097 0,061 0,038

Интенсивность Я поступления клиентов равняется пяти клиентам в час. Ин­тенсивность //обслуживания клиентов равняется восьми клиентам в час.

a) Вычислите вероятность того, что очередной клиент сможет попасть в сис­тему обслуживания.

b) Вычислите интенсивность, при которой прибывающие клиенты не смогут попасть в систему обслуживания.

c) Вычислите среднее число клиентов в обслуживающей системе.

d) Вычислите среднее время ожидания клиентов в очереди.

8. Покажите, что при р = 1 в модели (М/М/1): (GD/ZV/co) среднее число клиен­тов в системеL_a равно N/2. (Подсказка. 1 + 2 +... + i = i(i + 1)/2.)

9. Покажите, что А^ в модели (М/М/1): (GD/N/x) можно вычислить по фор­муле 4» ⁼ №. ~ L_q).

Глава 17. Системы массового обслуживания

17.6.3. Модели с параллельными сервисами

В этом разделе рассматриваются три модели систем массового обслуживания с не­сколькими параллельно работающими средствами обслуживания (сервисами). Пер­вые две модели представляют собой обобщение моделей, рассмотренных в подразде­ле 17.6.2, для ситуации нескольких параллельно работающих сервисов. В третьей модели рассматривается бесконечное количество параллельно работающих сервисов.

Модель (М/М/с): (GD/oo/oo). Эта модель предусматривает работу с параллель­ных средств обслуживания. Интенсивность входного потока клиентов равна Я, а интенсивность обслуживания клиентов — р для каждого сервиса. Поскольку от­сутствуют ограничения на количество клиентов в системе, то Я^ = Я.

Результатом использования с параллельных сервисов является пропорциональ­ное увеличение интенсивности обслуживания клиентов системой до пр, если п < с, и до ср, если п > с. Следовательно, в терминах общей модели системы обслужива­ния (раздел 17.5) Я_л и р_п определяются следующим образом.

Я„ = Я, п>0,

[ли., п<с.

ср., п > с.

Следовательно,

p(2u)(3u)...(nu) ° л!и" ° п\

п<с,

u(2u)...(c-l)u(cu)"'

-7Ро=-Г7^Ро, ">с-

Значение вероятности р₀ определяется из уравнения Х1о^»⁼'^- Если Р~Л/р, а р/с < 1, приходим к следующей формуле для р₀:

— р" р^с(1 ^

1-е

Z-+-

й«! с!

V с)

Выражение для L можно найти следующим образом.

■<1.

___ Г ГА САГ к.г. v Г

_i=0 с~с\ с\с—₀ \с) ⁰ (с-1)!(с-р)^

Поскольку Я^ = Я, то L_t = L_q + р; значения для W_t и W_q можно найти, разделив на Я значения L, и L„.

Пример 17.6.5

В небольшом городке функционируют две службы такси. Каждая из них располагает двумя автомобилями, и по имеющейся информации заказы на обслуживание делятся службами практически поровну. Это подтверждается тем фактом, что заказы в дис­петчерские отделения обеих служб поступают с одной и той же интенсивностью, рав­ной 8 вызовам в час. Среднее время выполнения одной заявки составляет 12 минут.

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 667

Заявки на обслуживание поступают в соответствии с распределением Пуассона, а время обслуживания клиентов распределено по экспоненциальному закону. Недав­но обе службы были приобретены инвестором, который заинтересован в их объедине­нии с единым диспетчерским пунктом для обеспечения более быстрого обслужива­ния клиентов. Необходимо проанализировать предложения нового хозяина.

С точки зрения теории массового обслуживания такси представляют собой обслу­живающие устройства, а вызов такси является сервисом. Каждая служба такси может быть представлена моделью (М/М/2): (GD/oo/oo) с Я = 8 вызовов в час и р = = 60/12 = 5 поездок на одно такси в час. Объединение служб такси приведет к модели (Л//Л//4): (GD/co/co) сЯ=2х8=16 вызовов в час и р = 5 поездок на одно такси в час.

Подходящей мерой для сравнения двух моделей обслуживания является среднее время ожидания клиентом такси от момента его вызова до момента прибытия ав­томобиля, т.е. W_q. На рис. 17.8 представлены выходные данные программы TORA для двух описанных моделей. Результаты показывают, что время ожидания кли­ентом приезда автомобиля равняется 0,356 ч (примерно 21 мин.) для модели об­служивания с двумя таксомоторными службами и 0,149 ч (примерно 9 мин.) для модели обслуживания в объединенном варианте. Значительное уменьшение (более чем на 50 %) функционального показателя рассмотренной обслуживающей систе­мы делает очевидной целесообразность объединения двух служб такси.

Title: Example 17.6-5

Comparative Analysis _______________

Scenario с Lambda Mu L'daeff pO Ls Lq Ws Wq

1 2 8,00000 5,00000 8,00000 0,11111 4,44444 2,84444 0,55556 0,35556

2 4 16,00000 5,00000 16,00000 0,02730 5,58573 2,38573 0,34911 0,14911

Рис. 17.8. Результаты расчетов в программе TORA для примера 17.6.5

Из приведенного анализа следует, что объединение систем обслуживания всегда обеспечивает более эффективный режим работы. Этот вывод остается справедли­вым даже в том случае, когда загруженность всех сервисов очень высока.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.5

1. В примере 17.6.5 определите следующие параметры.

a) Вероятность того, что все автомобили в каждой из двух служб такси нахо­дятся на вызове.

b) Вероятность того, что все такси в объединенной компании будут на вызове.

c) Среднее количество свободных такси в каждой из двух моделей.

d) Количество машин, которое следует иметь объединенной компании для того, чтобы время ожидания клиентом приезда автомобиля по вызову со­ставляло не более пяти минут.

2. В примере 17.6.5 предположите, что среднее время обслуживания клиента фак­тически равняется 14,5 мин., так что коэффициент загруженности автомобилей

Глава 17. Системы массового обслуживания

(= Л/jjc) для режимов работы с двумя и четырьмя такси возрастает до 96 % и бо­лее. Имеет ли смысл при этих условиях объединять две компании в одну?

3. Определите минимальное количество сервисов в каждой из следующих ситуаций (предполагается пуассоновское распределение поступления клиентов и обслужи­вания), которое гарантирует стационарный режим работы системы массового об­служивания (в этом случае длина очереди не будет неограниченно возрастать).

a) Клиенты прибывают каждые 5 мин., а обслуживаются с интенсивностью 10 клиентов в час.

b) Среднее время между последовательными прибытиями клиентов равняет­ся 2 мин., а среднее время обслуживания — 6 мин.

c) Интенсивность входного потока — 30 клиентов в час, а интенсивность об­служивания одним сервисом — 40 клиентов в час.

4. Посетители прибывают в банк в соответствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием 45 клиентов в час. Длительность деловых опе­раций с одним клиентом имеет экспоненциальное распределение с математи­ческим ожиданием примерно пять минут. Банк планирует использовать од-ноканальный многокассовый режим работы, подобный тем, которые применяются в аэропортах и почтовых отделениях.³ Управляющий отдает себе отчет в том, что клиенты могут обратиться в другие банки, если они чув­ствуют, что их ожидание в очереди является "чрезмерным". Поэтому управ­ляющий хочет уменьшить среднее время ожидания в очереди до 30 секунд, не более. Сколько кассиров должен иметь банк?

5. В ресторане быстрого питания работают три кассира. Посетители прибывают в ресторан в соответствии с распределением Пуассона каждые три минуты и образуют одну очередь, чтобы быть обслуженным первым освободившимся кассиром. Время до момента размещения заказа экспоненциально распреде­лено со средним, равным примерно пяти минутам. Вместимость зала ожида­ния внутри ресторана ограничена. Однако ресторан имеет хорошую кухню и при необходимости посетители готовы выстраиваться в очередь и вне рес­торана. Определите размер зала ожидания внутри ресторана, кроме мест воз­ле касс, таким образом, чтобы с вероятностью не менее 0,999 следующий по­сетитель не ожидал обслуживания вне ресторана.

6. Небольшое почтовое отделение имеет два обслуживающих окна. Клиенты прибывают на почтовое отделение в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 1 клиент в каждые три минуты. Однако лишь 80 % из них нуждаются в обслуживании возле окон. Время обслуживания клиента под­чиняется экспоненциальному закону со средним значением 5 минут. Все прибывающие клиенты образуют одну очередь и подходят к свободному окну по принципу "первым пришел — первым обслуживаешься".

a) Какова вероятность того, что очередной клиент будет ожидать в очереди?

b) Какова вероятность того, что оба обслуживающих окна свободны?

c) Какова средняя длина очереди?

d) Можно ли предложить приемлемое обслуживание лишь с одним окном? Приведите аргументы.

³ Здесь имеется в виду, что есть одна очередь, но клиенты обслуживаются несколькими сервисами (в данном примере сервисы — это кассы). — Прим. ред.

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 669

7. Вычислительный центр университета состоит из четырех одинаковых боль­ших ЭВМ коллективного пользования. Число работающих в центре пользо­вателей в любой момент времени равно 25. Каждый пользователь готовит свою программу для ее машинной реализации через терминал, куда она сра­зу же передается. Время подготовки программ имеет экспоненциальное рас­пределение со средним значением 15 мин. Поступающие программы автома­тически размещаются для реализации на первую свободную ЭВМ. Время выполнения программы имеет экспоненциальное распределение со средним значением 2 мин. Вычислите следующие показатели.

a) Вероятность того, что программа не будет выполнена сразу же, как только она поступила на терминал.

b) Среднее время до получения пользователем результатов машинной реали­зации программы.

c) Среднее количество программ, ожидающих машинной реализации.

d) Процент времени, когда все ЭВМ вычислительного центра свободны.

e) Среднее количество свободных ЭВМ.

8. Аэропорт обслуживает пассажиров трех категорий: городских жителей, жи­телей пригородов и транзитных пассажиров. Прибытие в аэропорт пассажи­ров всех трех категорий во времени происходит в соответствии с распределе­нием Пуассона со средней интенсивностью 15, 10 и 7 пассажиров в час соответственно. Время регистрации пассажиров подчиняется экспоненци­альному распределению с математическим ожиданием 6 мин. Определите количество стоек для регистрации пассажиров, которыми должен распола­гать аэропорт в каждом из следующих случаев.

a) Среднее время пребывания пассажира в режиме ожидания и регистрации не должно превышать 15 мин.

b) Процент свободных регистрационных стоек не превышает 10 %.

c) Вероятность того, что все регистрационные стойки свободны, не превы­шает 0,01.

9. Для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) обслуживающей системы Морс (Morse) [3] пока­зал, что при условии р/с —> 1 L = р/(с - р). Используя эту информацию, покажи­те, что отношение среднего времени ожидания в модели (М/М/с): (GD/oo/oo) к аналогичному параметру в модели (М/М/1): (GD/oo/oo) стремится к 1/с при р/с—> 1. Следовательно, при с = 2 среднее время ожидания может быть уменьшено на 50 %. Из этого следует вывод, что объединение систем обслу­живания целесообразно всегда.

10. В процедуре вывода формулы для вероятности р_п в модели (М/М/с): (GD/oo/oo) укажите, какая ее часть требует условия р/с < 1. Объясните значение этого ус­ловия. Что произойдет, если это условие не будет выполнено?

11. Используя формулу ^, =Х1-г.|("^_с)^" ' Д°^кажите, что L_s=L_q+c, где с — среднее количество работающих сервисов. Далее покажите, что с = Л^/р.

12. Покажите, что формулу для вероятностей р_п в модели (М/М/1): (GD/oo/co) мож­но получить из аналогичной формулы для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) при с = 1.

13. Покажите, что в модели (М/М/с): (GD/oo/oo) имеет место следующая формула:

Глава 17. Системы массового обслуживания

14. Покажите, что для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) обслуживающей системы справедливы следующие утверждения.

a) Вероятность того, что клиент ожидает, равняетсяр_ср/(с - р).

b) Если имеется очередь, то ее средняя длина равна с/(с - р).

c) Среднее время ожидания в очереди тех клиентов, которые вынуждены ждать, равно 1/Дс - р).

15. Покажите, что для модели (М/М/с): (GD/oo/oo) обслуживающей системы плотность вероятности времени ожидания в очереди имеет следующий вид:

(с-Щс-р) ЦРУ"-^Р)Г _п

(Совет. Преобразуйте систему обслуживания с с каналами в эквивалентную одноканальную, для которой

P{t >Т} = P^mint, > г} = [е-»^Т)^с =е~^\

где t — время обслуживания в эквивалентной одноканальной системе об­служивания.)

16. Докажите, что если плотность вероятности w_q(T) задается формулой из пре­дыдущего упражнения, то

Р{Т>у}=Р{Т>0}е^^Л)у,

где Р{Т > 0} — вероятность того, что поступающий в систему клиент будет ждать обслуживания.

17. Докажите, что в модели (М/М/с): (FCFS/oo/oo) системы обслуживания плот­ность вероятности времени ожидания клиента в очереди имеет вид

-(т) = ме- + , У" _nU- - 1_А. г > 0.

(с-1)!(с-р-1) [с-р J

(Подсказка. Распределение случайной величины г представляет собой сверт­ку распределений времени ожидания в очереди Т (см. упражнение 15) и вре­мени обслуживания.)

Модель (М/М/с): (GD/TV/oo), c<N. Эта модель обслуживающей системы отли­чается от модели (М/М/с): (GD/oo/oo) тем, что емкость системы ограничена сверху значением N (тогда максимальная длина очереди равна N - с). Интенсивности по­ступления и обслуживания клиентов равны Я и р соответственно. Эффективная ин­тенсивность поступления заявок в систему обслуживания Я^ меньше Я в силу ог­раниченности емкости системы значением N.

Параметры Я„ и р_п общей модели обслуживающей системы в данной модели оп­ределяются следующим образом:

[\, 0<n<N,

^Х" [0, nZN,

I иц, 0 < п < с, ц = <

[cu, c<n<N.

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 671

Подставляя Я_п и ju_n в общее выражение для р_п из раздела 17.5 и используя обозначе­ние р = Л/ju, получаем

Рп '

Г Л»

о < п < с.

-р„, c<n<N,

где

Ро^:

I^е1­

с!

-* 1,

= 1.

Далее мы вычисляем L для ситуации, когда р/с * 1:

сс! JP}7T₀\c

(с-1)!(с-р)­-(W-c + l) 1

Можно также показать, что для ситуации, когда р/с = 1, выражение для L_q имеет следующий вид:

p'(N-c){N-c + \) р 2с! ^Ро' с

Для определения W и, следовательно, W, и необходимо получить выражение для Язфф. Поскольку ни один клиент не может попасть в систему после того, как дос­тигнут лимит N по ее вместимости, то

Атотери ^_ ДРлг>

Афф ^{= Я} ~ Потери ⁼ С¹ -РлгМ-

Пример 17.6.6

Пусть в задаче, связанной с объединением служб такси, которая рассматривалась в примере 17.6.5, известно, что объединенная служба такси не имеет финансовых возможностей для покупки новых автомашин. Друг нового хозяина советует ин­формировать пассажиров о возможных задержках с прибытием заказанной авто­машины, как только список ожидающих клиентов достигает шести. Эта мера, не­сомненно, заставит новых клиентов искать обслуживания в другом месте, что уменьшит время ожидания тех клиентов, которые уже ожидают в очереди. Необ­ходимо узнать, насколько полезным является совет друга.