Инвестиции в В 7 страница

Соответствие между экспоненциальным распределением (с интенсивностью по­ступлений Я) и распределением Пуассона показано в следующей таблице.

Экспоненциальное Распределение распределение Пуассона

Случайная переменная	Время t между наступлениями событий	Количество п наступлений событий в течение заданного периода времени Г
Значение случайной величины	г>0	п = 0,1,2,...
Функция плотности вероятности	/(f) = Яе-'", f>0	Л(/)-М"в" «= 0,1,2,... и!
Среднее значение (математическое ожидание)	Ш временных единиц	ЯТв течение времени Т
Функция распределения	P{t < А} = 1 - e'M	Pkn{T) = ро(7) + р,(Т) +... + РМ7)
Вероятность, что не произойдет ни одного события в течение времени А	P{t>A} = e-AA	ро(А) = e~*

Пример 17.4.1

В небольшом штате каждые 12 минут рождается ребенок. Время между рождения­ми распределено по экспоненциальному закону. Требуется определить следующее.

17.4. Модели рождения и гибели.

1. Среднее число рождений за год.

2. Вероятность того, что на протяжении одного дня не будет ни одного рождения.

3. Вероятность выдачи 50 свидетельств о рождении к концу третьего часа, если известно, что на протяжении последних двух часов было выдано 40 таких свидетельств.

, ^24x60,™

Вычислим интенсивность рождении за день: Х = ——— = 120 рождении за день.

Интенсивность рождений в штате за год равна Яг = 120 х 365 = 43800 рождений.

Вероятность того, что на протяжении одного дня не родится ни один ребенок, вы­числяется с использованием пуассоновского распределения

,. (l20xl)V^{l2,M Л(,) =}-£-

Для вычисления вероятности выдачи 50 свидетельств о рождении к концу третьего часа при условии, что на протяжении последних двух часов было выдано 40 таких свидетельств, заметим, что, поскольку распределение числа рождений является пу-ассоновским, искомая вероятность сводится к вероятности появления 10 (= 50 - 40) рождений за один (=3-2) час. Так как Я = 60/12 = 5 рождений за час, то

■V"'

/ ч (5x1).

Р.о0) = ----= 0,01813.

¹⁰⁴ ' 10!

Формулы для вычисления функциональных параметров систем обслуживания включают громоздкие вычисления, поэтому для их выполнения желательно ис­пользовать программное обеспечение TORA. На рис. 17.2 показаны выходные дан­ные, полученные с помощью программы TORA, для модели чистого рождения с ин­тенсивностью At = 5 х 1 = 5 рождений за день.

Аналогичные вычисления выполняет шаблон Excel chl7PoissonQueues.xls, также по­казанный на рис. 17.2.

УПРАЖНЕНИЯ 17.4.1

1. Пусть в примере 17.4.1 служащий, который вводит информацию из свиде­тельств о рождении в компьютер, обычно ожидает, пока не накопится по крайней мере пять сертификатов. Определите вероятность того, что служа­щий будет вводить новый пакет данных каждый час.

2. Коллекционер произведений искусства в среднем раз в месяц ездит на худо­жественные аукционы. Каждая поездка точно гарантирует одну покупку. Время между поездками имеет экспоненциальное распределение. Определи­те следующие параметры.

a) Вероятность того, что коллекционер на протяжении трехмесячного пе­риода не купит ни одного произведения искусства.

b) Вероятность того, что коллекционер приобретет не более восьми произве­дений искусства на протяжении года.

c) Вероятность того, что интервал между двумя последовательными поезд­ками коллекционера превысит один месяц.

Глава 17. Системы массового обслуживания

Title: Example 17.4-1 Scenario 1: Pure Birth Model

Lambda = 5 00000 Lambda eff =

Ls = Ws =

5,00000

Mu = Rho/c =

Lq = Wq = 0 00000

n	Probability, pn	Cumulative, Pn	n	Probability, pn	Cumulative, Pn
	0,00674	0,00674		0,03627	0,96817
	0 03369	0,04043		0,01813	0.98630
	0,08422	0,12465		0,00824	0,99455
	0,14037	0,26503		0,00343	0,99798
	0,17547	0.44049		0.00132	0,99930
	0,17547	0,61596		0,00047	0,99977
	0,14622	0,76218		0,00016	0.99993
	0,10444	0,86663		0,00005	0,99998
	0.06528	0.93191		0,00001	0.99999
	A	В	С
!		M/M/CK5D/N/K Oueueing Model
	Input Data (to enter an infinite value, type i or infinity):
		5,			_ 0
	Sys. Llm.. N=	infinity	Source limit. К»		infinity
	Output Results (Pur* Birth Model):
				infmit-
	Ls =		Lp =
	Ws =	1 Wq =
	n	Pn	CPn		1-CPn
		00D6737947D	0 0067379470
			0 0404276820		D95957231 BO
		0 0842243375			08753479B05
		014037Э8958	0 2650259153		0 7349740847
1^			D 4404932851		D.5595D67149
1i			0 6159606548		0 3840393452
			0 7621B34630		0.2378165370
		01D4444B630	0 8666283259		0.1333716741
	в	0 0652780393	0 9319063653		0 0680936347
		0 0362655774	0 9681719427		0D31B280573
		0 01B1327887	0 9863047314		0 0136952686
\2		0 00B2421767	0 9945469081		0 0054530919
U		0 0034342403	0 9979811464		0 0D2D188516

Рис. 17.2. Вычисление в TORA и Excel вероятностей из примера 17.4.1

3. В систему обслуживания банка заявки на обслуживание поступают с интен­сивностью 2 заявки в минуту. Требуется определить следующие параметры.

a) Среднее число заявок на протяжении пяти минут.

b) Вероятность того, что в течение 0,5 минуты не поступит ни одной заявки.

c) Вероятность того, что по крайней мере одна заявка поступит в течение следующих 0,5 минуты.

d) Вероятность того, что промежуток времени между двумя последователь­ными поступлениями заявок на обслуживание равен по меньшей мере трем минутам.

17.4. Модели рождения и гибели.

4. Время между прибытиями посетителей в ресторан распределено по экспо­ненциальному закону со средним значением 5 минут. Ресторан открывается в 11:00. Требуется вычислить следующее.

a) Вероятность того, что в 11:12 в ресторане окажется 10 посетителей при условии, что в 11:05 в ресторане было 8 посетителей.

b) Вероятность того, что новый посетитель прибудет в ресторан в интервале между 11:28 и 11:33, если известно, что предыдущий посетитель прибыл в ресторан в 11:25.

5. Заказанные публичной библиотекой книги поступают в соответствии с пуассо-новским распределением со средним значением 25 книг в день. На каждой полке в хранилищах можно разместить 100 книг. Требуется вычислить следующее.

a) Среднее количество полок, ежемесячно заполняемых новыми книгами.

b) Вероятность того, что ежемесячно для размещения поступающих книг потребуется более 10 книжных шкафов, если известно, что каждый книжный шкаф состоит из пяти полок.

6. В университетском городке функционируют две автобусные линии: красная и зеленая. Красная обслуживает северную часть городка, зеленая — южную. Автобусные линии связаны пересадочной станцией. Автобусы зеленой линии на пересадочную станцию прибывают в соответствии с распределением Пуас­сона в среднем каждые 10 мин. Аналогичный показатель для автобусов красной линии равен 7 мин.

a) Какова вероятность того, что оба автобуса остановятся на пересадочной станции на протяжении пятиминутного интервала?

b) У студента, чье общежитие находится рядом с пересадочной станцией, че­рез 10 мин. лекция. Любой автобус доставит студента к учебному зданию. Поездка занимает 5 мин., затем студент должен около 3 мин. идти пеш­ком к учебному зданию. Какова вероятность того, что студент вовремя придет на лекцию?

7. Докажите, что среднее и дисперсия распределения Пуассона на интервале t равны At, где А — интенсивность поступления заявок.

8. Получите распределение Пуассона из разностно-дифференциальных уравнений модели чистого рождения. Совет. Решением дифференциального уравнения

17.4.2. Модель чистой гибели

В данной модели предполагается, что система начинает функционировать, ко­гда в момент времени 0 в ней имеется N клиентов и не допускается ни одного нового поступления клиента. Обслуженные клиенты выбывают из системы с интенсивно­стью // клиентов в единицу времени. Пусть p_n(t) — вероятность того, что после t временных единиц в системе остается п клиентов. Для получения разностно-дифференциальных уравнений относительно p_n(t) обычно следуют логике рассуж­дений, использованных в модели чистого рождения (раздел 17.4.1). Поэтому имеем

у +a(t)y = b(t)

является функция

Глава 17. Системы массового обслуживания

p_N(t + h)=p_N(t){l-ph),

pjit + ft) =р„(0(1 - /Л) +р.₊₁(0/Л, 0 < п < N,

p₀(t + h)=p₀(t)(l)+_Pl(t)ph.

При h —►? получим

/>*(')=-№*(')>

pU') = -w.(0 ⁺ w.-i(')- о<"<^,

p;(')=HPi(0-

Эти уравнения имеют решение

' (N-n)l

л(0 =»-Ел(0.

которое называется усеченным распределением Пуассона.

Пример 17.4.2

Секция цветов бакалейно-гастрономического магазина складирует 18 дюжин роз в начале каждой недели. В среднем продается 3 дюжины роз в день (за один раз продается дюжина роз), но действительный спрос подчиняется распределению Пу­ассона. Как только уровень запаса снижается до 5 дюжин, делается новый заказ на поставку 18 дюжин роз в начале следующей недели. Запасы по своей природе тако­вы, что все неиспользованные до конца недели розы приходят в негодность и лик­видируются. Требуется вычислить следующие параметры системы.

1. Вероятность размещения заказа к концу каждого дня недели.

2. Среднее количество роз, которые будут ликвидированы к концу недели.

Так как розы покупаются с интенсивностью р = 3 дюжины в день, то вероятность того, что заказ будет размещен в конце дня t, равна

5 (3/)'⁸"V³'

Pn<s«)=Po(t)+p_](t) +...+Р5«)=р₀(.1)+ -—, / = 1,2,...,7.

„₌, (18-и)!

С помощью программы TORA получим следующие результаты расчетов (файл chl 7ToraQueuesExl 7-4-2.txt).

г (дни)
**
Pnsa(t)	0,0000	0,0088	0,1242	0,4240	0,7324	0,9083	0,9755

Среднее количество роз, которые будут ликвидированы к концу недели (t = 7), вы­числяется (с использованием программы TORA) следующим образом.

M[n\t = 7} = ^ир„(7) = 0,664 дюжины.

л»0

17.4. Модели рождения и гибели.

УПРАЖНЕНИЯ 17.4.2

1. На основе примера 17.4.2 выполняется следующее.

a) Используйте программу TORA для проверки значений p_n<_s(t) при t = 1, 2,...,7.

b) Используйте программу TORA для вычисления р„(7), п = 1, 2, 18, и затем проверьте, что эти вероятности дают значение М{п \ t = 7} = 0,664 дюжины.

2. В примере 17.4.2 определите следующее.

a) Вероятность того, что за три дня запас роз будет исчерпан.

b) Среднее количество роз, оставшихся к концу второго дня.

c) Вероятность того, что по крайней мере одна дюжина роз будет продана в тече­ние четвертого дня, если последняя покупка роз была в конце третьего дня.

d) Вероятность того, что интервал времени до следующей покупки роз не превышает полдня, если последняя покупка была днем раньше.

e) Вероятность того, что на протяжении первого дня не будет продано ни од­ной дюжины роз.

3. Джазовый оркестр средней школы дает концерт в зале на 400 мест. Местные фирмы покупают билеты блоками по 10 билетов и дарят их молодежным ор­ганизациям. Этим фирмам билеты продаются лишь 4 часа в день перед кон­цертом. Процесс заказа билетов по телефону является пуассоновским со средним значением, равным 10 звонков в час. Билеты, оставшиеся после за­крытия кассы, продаются со скидкой за час перед началом концерта. Требу­ется определить следующее.

a) Вероятность того, что можно будет купить "уцененные" билеты.

b) Среднее значение количества "уцененных" билетов.

4. Каждое утро в холодильник небольшой мастерской помещается два ящика (по 24 банки) безалкогольных напитков для десяти работников. Они могут утолять свою жажду в любой момент на протяжении восьмичасового рабочего дня (с 8:00 до 16:00). Процесс потребления напитков является случайным (в со­ответствии с распределением Пуассона), но известно, что в среднем каждый ра­ботник употребляет примерно 2 банки в день. Какова вероятность того, что за­пас напитков исчерпается к полудню? К моменту закрытия мастерской?

5. Студент-первокурсник ежемесячно получает от родителей банковский депо­зит на 100 долл. для покрытия текущих расходов. Получение студентом де­нег чеками по 20 долл. каждый на протяжении месяца происходит случай­ным образом в соответствии с экспоненциальным законом со средним значением 1 раз в неделю. Определите вероятность того, что к концу месяца (т.е. к концу четвертой недели) у студента не будет денег на текущие расходы.

6. На складе находится 80 единиц продукции, которая изымается в соответст­вии с распределением Пуассона с интенсивностью 5 единиц в день. Требуется определить следующее.

a) Вероятность того, что за два дня из склада будет изъято 10 единиц продукции.

b) Вероятность того, что к концу четвертого дня на складе не останется ни одной единицы продукции.

c) Среднее количество изъятых единиц продукции на протяжении четы­рех дней.

Глава 17. Системы массового обслуживания

7. Ремонтный цех предприятия только что складировал 10 комплектов запас­ных частей для ремонта автомобилей данного предприятия. Пополнение за­паса в таком же объеме происходит каждые 7 дней. Время между поломками автомобилей является случайной величиной, распределенной по экспонен­циальному закону со средним значением, равным одному дню. Определите вероятность того, что автомобиль 2 дня будет находиться в неисправном со­стоянии из-за отсутствия запасных частей.

8. Объем спроса на изделие является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона со средним значением 3 единицы в день. Максимальная вме­стимость склада равна 25 единицам. Склад полностью заполняется каждый понедельник сразу же после получения нового заказа. Объем заказа зависит от количества изделий, оставшихся к концу недели в субботу (воскресенье — выходной день). Требуется определить следующие параметры.

a) Средний недельный объем заказа.

b) Вероятность отсутствия запаса утром в пятницу.

c) Вероятность того, что недельный объем заказа превысит 10 единиц.

9. Докажите, что в модели чистой гибели распределение времени между удале­ниями (подчиняющимися усеченному распределению Пуассона) клиентов из системы является экспоненциальным с математическим ожиданием 1///еди­ниц времени.

10. Получите усеченное распределение Пуассона из разностно-дифференциаль-ных уравнений модели чистой гибели с помощью метода индукции. (Подсказка. См. указание к упражнению 17.4.1.8.)

17.5. ОБЩАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

В данном разделе рассматриваются общие системы массового обслуживания, в которых есть как входной поток клиентов, так и выходной поток обслуженных клиентов. Время между последовательными поступлениями клиентов и время об­служивания являются экспоненциально распределенными случайными величина­ми. Эта модель служит основой при рассмотрении специализированных моделей Пуассона, которым посвящен раздел 17.6.

При рассмотрении общих систем массового обслуживания предполагается, что система функционирует в течение достаточно большого интервала времени, по ис­течении которого в ее работе наступает стационарный режим. Этот режим функ­ционирования обслуживающей системы противопоставляется переходному (или неустановившемуся) режиму, который превалирует в самый начальный период функционирования системы. В этой главе не рассматриваются переходные режимы работы систем массового обслуживания, поскольку, во-первых, это связано с серь­езными математическими трудностями, а, во-вторых, на практике данные системы обычно предназначаются для работы в течение весьма длительного времени.

В рассматриваемой в этом разделе общей модели системы массового обслужива­ния предполагается, что и интенсивность поступления клиентов, и интенсивность выходного потока зависят от состояния системы, что означает их зависимость от числа клиентов в системе обслуживания. Например, сборщик платы за проезд по автомагистрали в часы интенсивного движения стремится ускорить сбор пошлины. Или в мастерской с фиксированным количеством станков интенсивность их поломки

17.5. Общая модель системы массового обслуживания

убывает по мере возрастания числа аварийных станков, ибо лишь работающие станки могут выходить из строя. Введем следующие обозначения.

п — число клиентов в системе обслуживания (в очереди и на обслуживании),

Я_п — интенсивность поступления в систему клиентов при условии, что в системе уже находится п клиентов,

ц_п — интенсивность выходного потока обслуженных клиентов при условии, что в системе находится п клиентов,

р_п — вероятность того, что в системе находится п клиентов.

В общей модели системы массового обслуживания устанавливается функциональ­ная зависимость вероятностей р_п от Л_п и ц_п. Эти вероятности используются затем при определении функциональных характеристик обслуживающей системы, таких как средняя длина очереди, среднее время ожидания и средний коэффициент ис­пользования сервисов.

Вероятности р_п определяются из диаграммы интенсивностей переходов, пред­ставленной на рис. 17.3. Обслуживающая система находится в состоянии п, если в ней имеется п клиентов. Как показано в разделе 17.3, вероятность появления бо­лее одного нового клиента на протяжении малого промежутка времени Л стремится к нулю при Л —> 0. Это означает, что при п > 0 состояние п может быть изменено в двух возможных направлениях: п-1, когда с интенсивностью //„ обслуженный клиент выбывает из системы, и п + 1, когда клиенты поступают с интенсивностью Х_п. Состояние 0 может измениться лишь к состоянию 1, когда имеет место поступ­ление клиента с интенсивностью Л₀. Заметим, что //₀ не определено, так как клиен­ты не могут выбывать из пустой системы обслуживания.

Рис. 17.3. Диаграмма интенсивностей переходов

При выполнении условий стационарности ожидаемые интенсивности входного и выходного потоков в состоянии п (п > 0) должны быть равны. Так как состояние п может изменяться лишь к состояниям п - 1 и п + 1, отсюда следует

(ожидаемая интенсивность ^ у входного потока в состоянии п)

Аналогично

(ожидаемая интенсивность ^

\ = {K+V.)P.-у выходного потока в состоянии п)

Приравнивая эти две интенсивности, получаем следующее уравнение баланса.

К-А-1 + A ₊ iP„.i = (k +V„)P_n> n = 1. 2,... Как видно из рис. 17.3, уравнение баланса, соответствующее п = 0, имеет вид

Глава 17. Системы массового обслуживания

Уравнения баланса решаются рекуррентно, последовательно выражая вероят­ности р, черезр₀ следующим образом: для п = 0 имеем

U,

Для п = 1 получаем

Подставляя сюда р, = (A₀///i)p₀ и упрощая полученное выражение, имеем (проверьте!)

Рг '■

Ро-

Методом индукции можно показать, что

Значениер₀ определяется из уравнения ^Г-о^" ⁼

р_в, л = 1, 2,...

Пример 17.5.1

Бакалейный магазин работает с тремя кассами. Вывеска возле касс извещает поку­пателей, что в любой момент будет открыта дополнительная касса, как только чис­ло покупателей в любой очереди превысит 3. Это означает, что если число покупа­телей меньше четырех, то работать будет лишь одна касса. Если число покупателей от четырех до шести, то будет работать две кассы. Если имеется больше шести по­купателей, будут открыты все три кассы. Покупатели подходят к кассам в соответ­ствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием 10 человек в час. Время обслуживания одного покупателя в кассе распределено по экспоненциаль­ному закону со средним 12 минут. Определим в установившемся режиме вероят­ность р„, что п покупателей стоят в очереди в кассу.

Из формулировки задачи имеем следующее.

Я_п — Л = 10 покупателей в час, п = 0, 1,

yj = 5 покупателей в час, и = 0,1,2,3,

2x5 = 10 покупателей в час, и = 4,5,6, 3x5 = 15 покупателей в час, и = 7,8,...

Следовательно,

Р, =| yj/>o = ²A» />₂=|yj Ро=*Ро> Л⁼1у) Ро=*Ро>

17.5. Общая модель системы массового обслуживания

Р*

Pi ^:

A=hT

Ро =8р₀,

Ро = ⁸/V О

Is ^А"'

Ро, «= 7,8,...

Значение р₀ определяется из уравнения

Ро+Ро

или, что равносильно,

2 + 4 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8I - | +!

= 1

Ро 31 + 8

.♦,j-f,­= 1.

Используя формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии получаем следующее.

Ро

31 + 8

Следовательно,р₀= 1/35.

Зная р₀, можно определить любую вероятность, имеющую отношение к задаче. На­пример, вероятность того, что будет работать лишь одна касса, вычисляется как вероятность нахождения в системе не больше трех клиентов, т.е.

Ро + р, +Р₂ +Рз = (1 + 2 + 4 + 8X1/35) * 0,273. Здесь предполагается, что в бакалейном магазине будет открыта как минимум одна касса, даже в том случае, когда вовсе нет покупателей.

Вероятности р_п можно использовать для определения численных значений функ­циональных характеристик рассматриваемой системы. Например, среднее количе­ство неработающих касс равно

Зр₀ + 2(р, +р₂ +р₃) + 1(р₄ +р_ь +р₆) + 0(р₇ +р₈ +...) = 1 касса.

УПРАЖНЕНИЯ 17.5

1. В примере 17.5.1 определите следующие характеристики системы.

a) Распределение вероятностей количества работающих касс.

b) Среднее количество неработающих касс.

Глава 17. Системы массового обслуживания

2. Пусть в задаче о бакалейном магазине из примера 17.5.1 время между подхо­дом покупателей к кассам распределено по экспоненциальному закону со средним 5 мин., а время расчета одного покупателя в кассе распределено по такому же закону со средним 10 мин. Предположим далее, что будет уста­новлена четвертая касса, и все кассы будут открываться при увеличении числа покупателей на два. Требуется определить следующие величины.

a) Вероятности р_п установившегося режима для всех п.

b) Вероятность того, что четвертая касса будет открыта.

c) Среднее количество неработающих касс.

3. Пусть в задаче о бакалейном магазине из примера 17.5.1 три кассы всегда от­крыты, и обслуживание организовано так, что покупатель будет подходить к первой свободной кассе. Определите следующие величины.

a) Вероятность того, что покупатели будут у всех трех касс.

b) Вероятность того, что подошедший к кассам покупатель не будет ожидать обслуживания.

4. Банк имеет один пункт, где клиенты могут воспользоваться банковским ав­томатом, не выходя из автомобиля. Автомобили прибывают в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 12 автомобилей в час. Время, необходимое для обслуживания клиента банкоматом, распределено по экс­поненциальному закону со средним, равным 6 мин. Максимальная вмести­мость полосы обслуживания банкоматом составляет 10 автомобилей. При заполненной полосе прибывающие клиенты должны обратиться к другому банку. Определите следующие величины.

a) Вероятность того, что прибывающий клиент не сможет воспользоваться услугами банковского автомата из-за того, что полоса обслуживания бу­дет заполнена.

b) Вероятность того, что прибывающий клиент не сможет воспользоваться услугами банковского автомата без ожидания.

c) Среднее количество автомобилей в полосе обслуживания.

5. Вы слышали когда-либо, чтобы кто-то повторял противоречивое заявление: "Это место настолько переполнено, что больше туда никто не ходит"? Это ут­верждение можно интерпретировать в том смысле, что возможность отказа от обслуживания возрастает с ростом числа клиентов, которые нуждаются в обслуживании. Возможной основой для моделирования этой ситуации яв­ляется утверждение о том, что интенсивность входного потока клиентов уменьшается, если число клиентов в системе возрастает. Для конкретности рассмотрим упрощенную модель бильярдного клуба, куда посетители обычно приходят парами для игры в бильярд. Нормальная интенсивность прихода клиентов равна шести парам в час. Однако если число пар в бильярдном клубе превышает восемь, интенсивность поступления клиентов уменьшается до 5 пар в час. Предполагается, что входной поток подчиняется распределению Пуассо­на. Время игры каждой пары является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 30 мин. Бильярд­ный клуб имеет в своем распоряжении 5 бильярдных столов и одновременно может расположить не более 12 пар. Определите следующие величины.

a) Вероятность того, что клиенты начнут отказываться от сервиса.

b) Вероятность того, что все бильярдные столы заняты.

17.5. Общая модель системы массового обслуживания

c) Среднее количество используемых бильярдных столов.

d) Среднее число пар, ожидающих освобождения бильярдного стола.