Инвестиции в В 8 страница

6. Парикмахерская в любой момент времени может обслужить только одного клиента. Имеется также три места для ожидающих клиентов. Это значит, что в парикмахерской одновременно не могут находиться более четырех че­ловек. Клиенты приходят в соответствии с распределением Пуассона со сред­ним значением 4 человека в час. Время обслуживания является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 15 мин. Определите следующие величины.

a) Вероятности установившегося режима.

b) Ожидаемое число клиентов в парикмахерской.

c) Вероятность того, что клиент уйдет в поисках другой парикмахерской, поскольку все места заняты.

7. Рассмотрите систему обслуживания с одним сервисом, в которой интенсив­ности входного и выходного потоков имеют следующий вид.

Л_п = 10- п, га = 0, 1, 2, 3,

Ц =-+5, и = 1,2,3,4. "2

Эта ситуация эквивалентна снижению интенсивности входного потока и уве­личению интенсивности выходного потока при увеличении числа п клиентов в системе.

a) Постройте диаграмму переходов и уравнение баланса для описанной си­туации.

b) Определите вероятности установившегося режима.

8. Рассмотрите простую систему обслуживания, когда в ней может находиться лишь один клиент. Прибывающие клиенты, которые застают систему заня­той, покидают ее и больше к ее услугам не обращаются. Пусть поступления клиентов происходят в соответствии с распределением Пуассона со средним Л человек в единицу времени, а время обслуживания является экспоненциаль­но распределенной случайной величиной со средним 1 /// временных единиц.

a) Постройте диаграмму переходов и уравнения баланса.

b) Определите вероятности установившегося режима.

c) Определите среднее число клиентов в системе.

9. Процедура получения общего решения для системы обслуживания общего вида с использованием метода индукции выполняется следующим образом. Рассмотрим соотношения

' X, *

р₀, к = п,п-\,

Чтобы получить искомое выражение для р_п, следует подставить выражения дляир_{п 2} в общее разностное уравнение, включающее p_n, р_п1 ир_п__г Про­верьте корректность этой процедуры.

Глава 17. Системы массового обслуживания

17.6. СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПУАССОНОВСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

На рис. 17.4 схематически представлена специализированная система обслужи­вания пуассоновского типа, в которой параллельно функционируют с идентичных сервисов (средств обслуживания). Ожидающий клиент выбирается из очереди для обслуживания на первом свободном сервисе. Интенсивность поступления клиентов в систему равна Я клиентов в единицу времени. Все параллельные сервисы являют­ся идентичными; это означает, что интенсивность обслуживания каждого сервиса равна Ц клиентов в единицу времени. Число клиентов, находящихся в системе об­служивания, включает тех, кто уже обслуживается, и тех, кто находится в очереди.

Обозначения, наиболее подходящие для характеристик системы обслуживания (рис. 17.4), имеют следующую структуру:

(a/b/c):(d/e/f),

где

а — тип распределения моментов времени поступления клиентов в систему,

Ь — тип распределения времени между появлением элементов выходного пото­ка (времени обслуживания),

с — количество параллельно работающих сервисов (= 1, 2, со),

d — дисциплина очереди,

е — максимальная емкость (конечная или бесконечная) системы (количество клиентов в очереди плюс число клиентов, принятых на обслуживание),

/ — емкость (конечная или бесконечная) источника, генерирующего клиентов.

■ Система обслуживания

Очередь -

Средства f*^-обслуживания-

Входной поток с интенсивностью Я

II--!	L-ЦСервис 2)- \ • \ •
	\ • (Сервис Л——

Л

1 Выходной поток с / интенсивностью и

Рис. 17.4. Система обслуживания с несколькими сервисами

Стандартными обозначениями для типов распределений входного и выходного потоков (символы а и Ь) являются следующие.

М— марковское (или пуассоновское) распределение моментов поступления клиентов в систему либо их выхода из нее (или эквивалентное экспоненциальное

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 651

распределение интервалов времени между моментами последовательных поступ­лений или продолжительностей обслуживания клиентов),

D — детерминированный (фиксированный) интервал времени между момента­ми последовательных поступлений в систему клиентов (или детерминированная (фиксированная) продолжительность обслуживания клиентов),

Е_к — распределение Эрланга, или гамма-распределение интервалов времени (или, что то же самое, распределение суммы независимых случайных величин, имеющих экспоненциальное распределение),

GI — произвольный (общий) тип распределения моментов поступления клиен­тов на обслуживание,

G — произвольный (общий) тип распределения продолжительности обслужива­ния клиентов.

Для дисциплины очереди (символ d) используются следующие обозначения.

PCFS — первым пришел — первым обслуживаешься,

LCFS — последним пришел — первым обслуживаешься,

SIRO — случайный отбор клиентов,

GD — произвольный (общий) тип дисциплины.

Для иллюстрации рассмотрим структуру системы обслуживания, которая соот­ветствует модели (М / D 110): (GD / N / оо). В соответствии с принятыми обозначе­ниями здесь речь идет о системе (и, соответственно, модели) массового обслужива­ния с пуассоновским входным потоком (или экспоненциальным распределением интервалов времени между моментами последовательных поступлений клиентов), фиксированным временем обслуживания и десятью параллельно функционирую­щими сервисами. При этом дисциплина очереди не регламентирована, и макси­мальное количество допускаемых в систему клиентов равно N. Наконец, источник, "порождающий клиентов", имеет неограниченную емкость.

В качестве исторической справки заметим, что первые три элемента (а / Ь / с) рассмотренного обозначения были введены Кендаллом (D. G. Kendall) в 1953 го­ду, и в литературе по теории массового обслуживания они фигурируют как обо­значения Кеидалла. Позднее в 1966 году Ли (А. М. Lee) добавил к ним символы d и е. Автором этой книги в 1968 году был введен последний символ принятых обо­значений — /.

Перед детальным рассмотрением системы обслуживания пуассоновского типа покажем, как с помощью полученных в разделе 17.5 вероятностей р_п, соответст­вующих стационарному режиму, можно получить функциональные характери­стики системы.

17.6.1. Функциональные характеристики стационарных систем обслуживания

Основными функциональными характеристиками систем массового обслужи­вания являются следующие.

L_t — среднее число находящихся в системе клиентов,

L_q — среднее число клиентов в очереди,

W₃ — средняя продолжительность пребывания клиента в системе,

Глава 17. Системы массового обслуживания

W — средняя продолжительность пребывания клиента в очереди, с — среднее количество занятых средств обслуживания (сервисов).

Напомним, что система включает как очередь, так и средства обслуживания.

Покажем, как перечисленные функциональные характеристики получаются (прямо или косвенно) из вероятностей р_п — вероятностей того, что в системе нахо­дится п клиентов. В частности, имеем следующее.

п-1

^L,= Z(«-^c)/>»-

Зависимость между L_t и W_t (а также между L_? и W_?), известная в литературе по теории массового обслуживания как формула Литтла, имеет вид

L = A.,

в эфф S

L = *.

q *рф q

Эти соотношения справедливы при достаточно общих условиях. Параметр А представляет собой эффективную интенсивность поступления клиентов в систему обслуживания. Он равен (исходной) интенсивности поступления клиентов Л, когда все прибывающие клиенты имеют возможность попасть в обслуживающую систе­му. Если же некоторые клиенты не имеют такой возможности по той причине, что она заполнена (например, заполненная автостоянка), то Я_эфф < Л. Позже мы пока­жем, как вычисляется Л „.

' эфф

Существует также прямая зависимость между величинами W_s и W. По опреде­лению

' Средняя продолжительность^ (Среднее время "\ (Среднее время ^

^ пребывания в системе) у пребывания в очереди) ^обслуживания j Математически это записывается в следующем виде

w, = w_{1 +} -. ц

Теперь можно получить формулу, связывающую L„ и L_q, умножая обе части по­следнего соотношения на Л^ и используя формулу Литтла. В результате получаем

Ц

По определению разность между средним числом находящихся в системе кли­ентов L_s и средним числом клиентов в очереди L_q равна среднему количеству заня­тых узлов обслуживания с. Следовательно, имеем

c=L,-L =^**.

Ц

Поэтому коэффициент использования узлов обслуживания вычисляется как отно­шение с/с.

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 653

Пример 17.6.1

Автостоянка для посетителей колледжа имеет всего пять мест. Автомобили прибы­вают на стоянку в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью шесть автомобилей в час. Время пребывания автомобилей на стоянке является экс­поненциально распределенной случайной величиной со средним 30 мин. Посетите­ли, которые не могут найти свободного места на стоянке непосредственно по при­бытии, могут временно ожидать освобождения места на территории стоянки. Таких мест для ожидания на стоянке имеется три. Если и стоянка, и все места для ожидания заполнены, то прибывшие автомобили вынуждены искать другую авто­стоянку. Требуется определить следующее:

а) вероятностьр_п того, что в системе находится п автомобилей,

б) эффективную интенсивность поступления автомобилей на стоянку,

в) среднее количество автомобилей на стоянке,

г) среднее время нахождения автомобиля в очереди на территории стоянки,

д) среднее количество занятых мест на автостоянке.

Прежде всего, заметим, что место для стоянки в рассматриваемой ситуации высту­пает в роли сервиса, так что система имеет всего с = 5 средств обслуживания. Мак­симальная вместимость системы равна 5 + 3 = 8 автомобилей.

Вероятность р_п может быть определена как частный случай из общей модели, рас­смотренной в разделе 17.5. Например, имеем

А„ = 6 автомобилей в час, п = 0, 1, 2, 8,

f60^N

«| — I = 2л7 автомобилей в час, п -

1, 2,

5,

: 10 автомобилей в час, п = 6,7,8.

Следовательно, из соотношений, полученных в разделе 17.5, вычисляем

■р„, и = 1, 2,...,5,

5!5

77А>> " = 6,7,8.

Значениер₀ вычисляется путем подстановки значений дляр_п, п = 1, 2, 8, в урав­нение р₀ + р_х +... + р₈ = 1. В результате получаем

•32 -з* I⁶ I¹ I^s Л

3 з²

^6 ^7 ^8

Р«+ Ail — + — + — + — + — +-г +-7 +-г

¹ 1! 2! 3! 4! 5! 5!5' 5!5² 5!5

= 1.

Решением этого уравнения является р₀ = 0,04812 (проверьте!). Найденное значение р₀ позволяет вычислить все вероятности отр, до p_s.

п

Рп

0,14436

0,21654

0,21654

0,16240

0,09744

0,05847

0,03508

0,02105

Глава 17. Системы массового обслуживания

Эффективную интенсивность поступления автомобилей на стоянку Я_эфф можно вычислить с использованием принципиальной схемы (рис. 17.5), в соответствии с которой клиенты из источника поступают с интенсивностью Я. Прибывающий автомобиль может поступить на стоянку с интенсивностью Л или уехать в по­исках другой стоянки с интенсивностью Я, „, т.е. Я = + Я. Автомобиль

"г./ потери⁷ эфф потери

не может въехать на стоянку, если там уже имеется 8 автомобилей. Это значит, что часть автомобилей, которые не смогут попасть на стоянку, пропорциональна р₈. Следовательно,

Я _я = Хр_г = 6 х 0,02105 = 0,1263 автомобилей в час,

Лфф ⁼ ^ ^-Л,отери ⁼ 6-0,1263 = 5,8737 автомобилей в час.

Среднее количество автомобилей на стоянке (тех, которые занимают места стоян­ки, и тех, которые ожидают места) определяется значением L_s — средним числом клиентов в системе. Значение^ определяется черезр„ следующим образом.

L_s = 0р₀ + 1р, +... + 8p_g = 3,1286 автомобилей.

Я	Лэфф	Система
	\ *
	\ ' -^потери

Источник

Рис. 17.5. Соотношение между различными пока­зателями интенсивности

Автомобиль, ожидающий, пока освободится место для стоянки, фактически нахо­дится в очереди. Следовательно, время его ожидания равно величине W_q. Для вы­числения W_q используем определение

w₄=w,--. ц

Так как

_w k_ ₌ ЗЛ286 _{= 65} *,фф 5,8737

то

W =0,53265- —= 0,03265 часа. ч ₂

Среднее количество занятых мест на автостоянке равно среднему значению "занятых сервисов" и поэтому вычисляется следующим образом.

с = L, - L = Ьй. = ЬЕЕ = 2,9368 мест. ' ц 2

Отсюда получаем, что коэффициент использования мест на стоянке равен

£=2^368 = 0,58736.

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 655

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.1

1. В задаче из примера 17.6.1 выполните следующее.

a) Вычислите L_q, используя для этого формулу ^* ^[п-с)р„.

b) На основании найденного значения L_q вычислите W_a.

c) Вычислите среднее количество автомобилей, которые не смогут въехать на территорию стоянки на протяжении восьмичасового периода.

d) Покажите, что среднее количество свободных мест на стоянке равно

ЕГ,'о(^с-^я)л-

2. Решите задачу из примера 17.6.1, если количество мест для стоянки автомо­билей равно 6, количество временных мест — 4, Д = 10 автомобилей в час, и среднее время нахождения автомобиля на месте стоянки равно 45 мин.

17.6.2. Модели с одним сервисом

В этом разделе представлены две модели обслуживающей системы с одним сред­ством обслуживания (т.е. с = 1). Предполагается, что клиенты поступают с посто­янной интенсивностью Д. Интенсивность обслуживания также постоянна и равна р клиентов в единицу времени. Первая модель не устанавливает ограничений на вме­стимость системы, во второй модели предполагается, что вместимость системы яв­ляется ограниченной. В этих двух моделях источник, "порождающий" клиентов, имеет неограниченную емкость.

Рассматриваемые здесь модели обслуживающих систем (как, по сути, и все ос­тальные модели раздела 17.6) являются частными случаями систем обслуживания общего вида, рассмотренных в разделе 17.5.

Используем обозначения Кендалла, чтобы описать характеристики системы об­служивания в каждом случае. Так как вывод выражения для р_п в разделе 17.5 и всех функциональных характеристик обслуживающей системы в подразделе 17.6.1 выполнен независимо от конкретной дисциплины очереди, в обозначениях будем использовать символ GD (дисциплина очереди не регламентирована).

Модель (М/М/1): (GD/qo/co). Используя обозначения общей модели, имеем

Х_п = X и ц_ц = ц для всех п = 0,1,2,...

Поскольку отсутствуют ограничения на емкость очереди, и, следовательно, все при­бывающие клиенты могут попасть в систему обслуживания, то Д^ = Д и Д_птри = 0.

Обозначим р = Л/р. Тогда выражение для вероятности р_п в общей модели прини­мает следующий вид:

Р„ = Р"Р<,'^{П =} 0,1,2,... Для определения величины р₀ используется тождество

р₀(1+р + р²+...) = 1.

Предполагаем, что р< 1, тогда геометрический ряд имеет конечную сумму 1/(1 - р), поэтому р₀ = 1 - р.

Следовательно, общая формула дляр_п имеет вид

_Pl, = (i-p;_P", п = 1,2.....(р<1).

Эти значения вероятностей р_п (включая вероятность р₀) соответствуют геометриче­скому распределению.

Глава 17. Системы массового обслуживания

При выводе формулы для р_п предполагалось, что р<1. Это означает, что для достижения системой стационарного режима функционирования необходимо, что­бы интенсивность поступления клиентов Я была строго меньше интенсивности об­служивания fj. Если Я> //, геометрический ряд является расходящимся, и, следова­тельно, вероятности р_п стационарного состояния не существуют. В этом случае система обслуживания будет функционировать в нестационарном режиме, когда длина очереди со временем неограниченно возрастает.

Среднее число находящихся в системе клиентов L_t как функциональная харак­теристика обслуживающей системы вычисляется по следующей формуле:

i.=Z^=Z«0-p)p"=0-p)p^Zp"=0-p)p^fr-]=7^£--

„ о „=о ар„=о dp\\-p) 1-р

Так как в рассматриваемой модели Я_эфф = Я, то остальные функциональные харак­теристики обслуживающей системы вычисляются с использованием соотношений из подраздела 17.6.1, что приводит к следующим результатам.

X ц(1-р) ц-Х'

с = L_s - L = р.

Пример 17.6.2

Автоматическая мойка для автомобилей имеет только один моечный бокс. Автомо­били прибывают в соответствии с распределением Пуассона со средним 4 машины в час и могут ожидать обслуживания на стоянке рядом с автомойкой. Время мойки автомобиля является экспоненциально распределенной случайной величиной с ма­тематическим ожиданием 10 мин. Автомобили, которые не помещаются на стоян­ке, могут ожидать на прилегающей к автомойке улице. Это значит, что практиче­ски нет ограничений на емкость системы обслуживания. Хозяин автомойки хочет определить количество мест на стоянке для автомобилей.

Для рассматриваемой задачи имеем Я = 4 автомобиля в час и ц = 60/10 = 6 автомо­билей в час. Так как р= ЯДи< 1, то система может функционировать в стационар­ном режиме.

Результаты использования программы TORA для решения рассматриваемой задачи, представленные на рис. 17.6, получены путем введения данных в следующем поряд­ке: Л = 4, = 6, с = 1, емкость системы равна со и емкость источника также равна со.

Результаты решения показывают, что среднее количество автомашин, ожидающих в очереди, равно L_q= 1,33 автомашины. Мы не можем рассматривать L_q в качестве единственного аргумента при определении искомого количества мест на стоянке, ибо при расчете должна учитываться максимально возможная длина очереди. На­пример, можно рассчитать количество мест на стоянке, при котором по меньшей мере 90 % прибывших автомобилей найдет место на стоянке.

Title: Example 17.6-2

Sce nari o 1-- (M /M /1):(GD/i nfinity/infini t y)

Lambda = 4,00000 Lambda eff = 4,00000

Ls = 2,00000 Ws = 0,5 0000_

Mu = 6,00000

Rho/c = 0,66667

Lq = 1,33333

Wq = 0,33333

n	Probability, pn	Cumulative, Pn
	0,33333	0,33333
	0,22222	0,55556
	0,14815	0,70370
	0,09877	0,80247
	0,06584	0,86831
	0,04390	0,91221
	0,02926	0,94147
	0,01951	0,96098
	0,01301	0,97399
	0,00867	0,98266
	0,00578	0,98844
	0,00385	0,99229
	0,00257	0,99486
n	Probability, pn	Cumulative, Pn
	0,00171	0,99657
	0,00114	0,99772
	0,00076	0,99848
	0,00051	0,99899
	0,00034	0,99932
	0,00023	0,99955
	0,00015	0,99970
	0,00010	0,99980
	0,00007	0,99987
	0,00004	0,99991
	0,00003	0,99994
	0,00002	0,99996
	0,00001	0,99997

Рис. 17.6. Результаты расчетов для задачи примера 17.6.2

Глава 17. Системы массового обслуживания

Пусть неизвестная переменная s представляет искомое количество мест на стоян­ке. Тогда система имеет емкость s + 1 (очередь плюс место на мойке). Прибываю­щий автомобиль в 90 % случаев получит место на стоянке, если в системе нахо­дится максимум s автомобилей. Это условие эквивалентно следующему вероятностному утверждению:

p₀+_Pl +...+p_s>0,9.

Из листинга, показанного на рис. 17.6, следует, что суммы вероятностей р_п равны 0,86831 и 0,91221 при п — 4 и п = 5 соответственно. Это значит, что условие выпол­няется при s > 5 мест на стоянке.

Количество мест на стоянке s может быть также определено с использованием фор­мулы, определяющейр_п. Получаем

(1 - р)(1 + р + р +...+//)> 0,9.

Сумма усеченного геометрического ряда равна (1 -//⁺¹)/(1 - р). Следовательно, по­следнее выражение приводится к виду

(1-/Г')>0,9.

Упрощая это неравенство, получаем

/Г'<0,1.

Логарифмируя обе части последнего неравенства, получаем следующее.

,_г!=М-,,4.«79.5.

Таким образом, необходимо s > 5 мест на стоянке.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.2

1. В задаче из примера 17.6.2 выполните следующее.

a) Определите процент использования автомойки.

b) Определите вероятность того, что прибывающий автомобиль должен ожидать на стоянке, прежде чем попасть в моечный бокс.

c) Определите вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет сво­бодное место на стоянке при условии, что там имеется семь мест.

d) Сколько должно быть мест на стоянке, чтобы прибывающий автомобиль в 99 % случаев нашел место на стоянке?

2. Студент университета Джон иногда подрабатывает, чтобы улучшить свое ма­териальное положение. Интервал времени между последовательными посту­плениями заявок на работу является экспоненциально распределенной слу­чайной величиной со средним значением пять дней. Время, необходимое для выполнения работы, также является экспоненциально распределенной слу­чайной величиной со средним значением четыре дня.

a) Какова вероятность того, что Джон будет без работы?

b) Если за каждую работу Джон получает примерно 50 долл., то каков его среднемесячный заработок?

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 659

с) Если в конце семестра Джон решает передоверить невыполненные работы другому лицу по 40 долл. за каждую работу, то каково среднее значение суммы, которую должен уплатить Джон?

3. На протяжении многих лет детектив Коломбо из отделения полиции города Фейетвилл демонстрирует феноменальный успех в расследовании каждого криминального дела, за которое он берется. Для него раскрытие любого кри­минального дела — это всего лишь вопрос времени. Коломбо соглашается, что время раскрытия каждого отдельного преступления является "совершенно случайным", но в среднем каждое расследование занимает около полторы не­дели. Криминальные дела в мирном городке, где работает Коломбо, явление не очень частое. Они происходят случайным образом с интенсивностью одно преступление в месяц. Проанализируйте "производительность" работы де­тектива Коломбо; в частности, найдите следующие показатели.

a) Среднее число случаев, которые ожидают расследования.

b) Процент времени, когда детектив занят расследованиями.

c) Среднее время, необходимое для раскрытия преступления.

4. Автомобили прибывают к пропускному пункту туннеля Линкольна, где взи­мается плата за проезд, в соответствии с распределением Пуассона со сред­ним 90 единиц в час. Время прохождения пропускного пункта автомобилями является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному за­кону со средним 38 секунд. Водители жалуются на долгое время ожидания, и власти планируют сократить среднее время прохождения пропускного пункта до 30 секунд, установив автоматическое устройство для взимания транспортной пошлины, если только выполняются два условия: 1) среднее количество ожидающих автомобилей превышает 5 единиц при существую­щей системе взимания пошлины и 2) процент времени простоя нового уст­ройства, установленного на пропускном пункте, не будет превышать 10 %. Может ли быть оправдана установка нового устройства?

5. Ресторан быстрого питания имеет один пункт обслуживания, где клиенты обслуживаются, не выходя из автомашины. Машины прибывают в соответ­ствии с распределением Пуассона с интенсивностью 2 клиента за каждые 5 мин. Возле пункта обслуживания может расположиться не больше 10 авто­машин, включая ту, которую обслуживают. Другие автомашины при необ­ходимости могут ожидать обслуживания за пределами этого пространства. Время обслуживания одного клиента распределено по экспоненциальному закону со средним значением 1,5 мин. Определите следующие показатели.

a) Вероятность того, что пункт обслуживания свободен.

b) Среднее число клиентов, ожидающих обслуживания.

c) Среднее время ожидания клиента до того момента, когда он делает заказ.

d) Вероятность того, что очередь превысит десятиместное пространство пе­ред пунктом обслуживания.

6. Банк располагает одним пунктом обслуживания, где клиенты обслуживают­ся, не выходя из автомашины. Клиенты прибывают в соответствии с распре­делением Пуассона со средним значением 10 клиентов в час. Время обслужи­вания одного клиента распределено по экспоненциальному закону со средним значением 5 мин. Напротив пункта обслуживания имеется место для трех автомобилей, включая и тот, что обслуживается. Другие прибы­вающие автомашины выстраиваются в очередь вне этого пространства.

Глава 17. Системы массового обслуживания

a) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль может занять од­но из трех мест возле пункта обслуживания?

b) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль будет ожидать обслуживания вне зоны для трех автомобилей?

c) Каково среднее время ожидания прибывающего клиента до того момента, когда его начнут обслуживать?

d) Сколько мест для автомобилей должно быть возле обслуживающего пунк­та обслуживания, чтобы прибывающий клиент мог найти там место по крайней мере в 20 % случаев?

7. В модели (М/М/1): (GD/oo/oo) системы обслуживания покажите, что в общем случае L_s не равно L_q + 1. При каком условии возникает это равенство?

8. Для модели (М/М/1): (GD/oo/oo) системы обслуживания получите выраже­ние для L_q, используя формулу для ₂[п -\)р„.

9. Для модели (М/М/1): (GD/oo/oo) системы обслуживания покажите, что

a) среднее число клиентов в очереди, если она не пуста, равно 1/(1 - р),

b) среднее время ожидания в очереди равно 1/(р - Я).

Распределение времени ожидания в модели (M/M/l):(FCFS/oo/oo)². Вывод фор­мулы для вероятностей р_п в общей модели системы обслуживания, рассмотренной в разделе 17.5, абсолютно не зависит от дисциплины очереди. Это значит, что ма­тематические ожидания всех функциональных параметров W_t, W, L_t и L_q справед­ливы для системы с любой дисциплиной очереди.

В отличие от среднего времени ожидания в системе обслуживания, плотность вероятности его распределения зависит от дисциплины очереди. Проиллюстри­руем это утверждение путем построения плотности вероятности времени ожида­ния для модели (М/М/1) с дисциплиной очереди FCFS ("первым пришел — пер­вым обслуживаешься").