Инвестиции в В 13 страница

Определив основные события имитационной модели, покажем теперь, как модель функционирует. На рис. 18.4 дано схематическое представление типичных место­нахождений событий на шкале времени имитации. После выполнения всех дейст­вий, связанных с текущим событием, имитационная модель "перепрыгивает" к дру­гому событию, которое непосредственно за ним следует. По сути, имитация возникает в те моменты, когда происходят события.

Событие 1 Событие 2 Событие 3 Событие 4 Событие 5 Время

Рис. 18.4. События на шкале времени

Как имитационное моделирование определяет время наступления событий? В сис­теме события, связанные с прибытием, определяются временем между поступле­ниями клиентов, а события, связанные с их уходом, — временем обслуживания. Время наступления этих событий может быть детерминированным (например, прибытие поездов метро на станцию каждые пять минут) или случайным (например, прибытие клиентов в банк). Если время между наступлениями событий является детерминированным, то процедура определения времени их наступления проста. Если же указанное время является случайным, то используется специаль­ная процедура для получения выборочных значений времени между событиями в системе, соответствующей заданному вероятностному распределению. Содержа­ние такой процедуры рассматривается в следующем разделе.

УПРАЖНЕНИЯ 18.3.1

1. Опишите дискретные события, необходимые для моделирования следующей ситуации. Два вида работ поступают из двух различных источников. Все ра­боты выполняются на единственной машине, причем преимущество имеют работы, поступающие из первого источника.

2. Работы поступают с постоянной скоростью на карусельный конвейер. Три станции обслуживания (серверы) расположены равномерно вокруг конвейе­ра. Если станция свободна, то работа снимается с конвейера для выполнения. Иначе работа находится на вращающемся конвейере до тех пор, пока не ос­вободится какой-либо сервер. Выполненная работа складируется в приле­гающей зоне для отправки в другой цех. Определите дискретные события, необходимые для моделирования этой ситуации.

3. Автомобили прибывают по двум линиям в банк, где клиенты обслуживают­ся, не выходя из машины. Максимальная емкость каждой линии составляет четыре машины. Если обе линии заполнены, то прибывший автомобиль уез­жает в поисках другого банка. Если в любой момент на одной из линий по мень­шей мере на два автомобиля больше, чем на другой, то последний автомобиль из

Глава 18. Имитационное моделирование

более "длинной" линии перемещается на последнюю позицию "короткой" линии. В этом режиме банк работает с 8:00 до 15:00 каждый рабочий день. Определите дискретные события для описанной ситуации.

4. Кафетерий начальной школы обеспечивает всех своих учеников завтраком, ко­торый помещается на одном подносе. Дети подходят к раздаточному окну каж­дые 30 секунд. Для получения подноса с завтраком необходимо 18 секунд. Нане­сите на временную шкалу события прибытия-ухода для первых пяти учеников.

18.3.2. Генерирование выборочных значений

Случайность в имитационных моделях возникает тогда, когда интервал време­ни t между последовательными событиями является случайным. В этом разделе рассматриваются следующие методы получения последовательных случайных зна­чений t — t_x, t₂, имеющих заданное распределение вероятности f(x).

1. Метод обратных функций.

2. Метод сверток.

3. Метод отбора.

Метод обратных функций дает хорошие результаты для непрерывных распреде­лений, функция распределения которых имеет аналитическое представление, на­пример, как при экспоненциальном или равномерном распределении. Другие два метода более универсальны и используются в таких сложных ситуациях, как, на­пример, генерирование случайных чисел, имеющих нормальное распределение или распределение Пуассона. Все три метода основаны на использовании независимых одинаково распределенных случайных чисел, имеющих равномерное распределе­ние на интервале [0, 1].

Метод обратных функций. Пусть необходимо получить значение х случайной ве­личины у, имеющей непрерывную или дискретную плотность вероятности f(x). Со­гласно методу обратных функций сначала находится функция распределения F(x) = = Р{у < х}, где 0 < F(x) < 1 для всех значений х. Пусть R — случайное число, полученное из равномерного на интервале [0, 1] распределения, и пусть F'¹ — функция, обратная к функции F. Метод обратных функций требует выполнения следующих действий.

Этап 1. Генерируется случайное число R из интервала [0, 1]. Этап 2. Вычисляется искомое случайное число х = F \R).

На рис. 18.5 проиллюстрирована описанная процедура для непрерывного и дис­кретного распределений. Равномерно распределенная случайная величина Д, из интервала [0, 1] проектируется с вертикальной оси F(x) на горизонтальную, опре­деляя при этом искомое значение х_х.

Корректность предложенной процедуры основана на том, что случайная пере­менная г = F(x) является равномерно распределенной на интервале 0 < z < 1, что до­казывается в следующей теореме.

Теорема 18.3.1. Для заданной функции распределения F(x) случайной величиных, -о° <#<<*>, случайная величина z = F(x), 0<г<1, имеет плотность вероятности

Яг)=1,0<г<1,

т.е. является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале [0,1].

18.3. Элементы дискретного моделирования

ад

R,

.г

_|_

_|_

о jc! jc о"

a) jc непрерывно б) х дискретно

Рис. 18.5. Получение случайных чисел методом обратных функций

Доказательство. Случайная величина г является равномерно распределенной на интервале [0, 1] тогда и только тогда, когда

P{z<Z}=Z, 0<Z<1.

Это соотношение непосредственно следует из таких равенств:

P{z < Z} = P{F(x) <,Z}= Р{х < F\Z)} = F(F'\Z)) = Z.

При этом 0 < Z < 1, так как 0 < P{z<Z} < 1.

Пример 18.3.2. Экспоненциальное распределение

Предположим, что время t между прибытиями клиентов в парикмахерскую рас­пределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием M{t) = 1/Л единиц времени, т.е. плотность вероятности задается формулой

f{t) = Xe-\ t>0.

Найдем случайное значение времени t.

Функция распределения вычисляется стандартным образом:

F(t)= jXe-^kj,dx = l-e~^k'. t>0. о

Если R — случайное число из интервала [0, 1], то, если R -= F(t), получим

, = -(1)п(1-К).

Так как R — случайное число из интервала [0,1], то и (1 - R) представляет собой случайное число из того же интервала, поэтому можно заменить (1 - R) на Л.

Пусть в имитационной модели события происходят через t единиц времени. Тогда, например, при Л = 4 посетителя в час и R = 0,9 интервал времени между прибытия­ми посетителей вычисляется как

г, = -jjjln(l -0,9) = 0,577 ч = 34,5 мин.

Значения Л, используемые для получения последовательных случайных чисел, должны выбираться случайным образом из интервала [0, 1], подчиняясь равномер­ному закону распределения. В разделе 18.4 мы покажем, как генерируются такие случайные числа. _

Глава 18. Имитационное моделирование

УПРАЖНЕНИЯ 18.3.2

1. Пусть в модели из примера 18.3.2 первый клиент поступает в начальный мо­мент времени 0. Используя первые три случайных числа первого столбца табл. 18.1, сгенерируйте время прибытия следующих трех клиентов и нане­сите полученные события на временную шкалу.

2. Равномерное распределение. Пусть время, необходимое для обработки детали на станке, равномерно распределено на интервале [a, b], а<Ь, т.е.

/(0 = 7Г-. о — а

Найдите выражение для вычисления случайного числа t при заданном зна­чении случайного числа R.

3. В небольшой цех с одним станком заказы поступают случайным образом. Время между поступлениями заказов распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием 2 часа. Время, необходимое для вы­полнения заказа, является случайной величиной, равномерно распределен­ной на интервале [1,1, 2], измеряемом в часах. Пусть первый заказ поступает в момент времени, равный нулю. Определите время поступления и выполне­ния первых пяти заказов, используя случайные числа из интервала [0, 1], помещенные в первом столбце табл. 18.1.

4. Запрос на дорогую запасную деталь для пассажирского самолета равен 0, 1, 2 или 3 единицы в день с вероятностями 0,2, 0,3, 0,4 и 0,1 соответственно. Цех технического обеспечения полетов имеет на складе 5 упомянутых деталей и немедленно восстановит запас до этого же уровня, если их останется на складе меньше двух единиц.

a) Разработайте процедуру получения случайных значений величины запроса.

b) Сколько дней пройдет до первого пополнения запаса деталей? Используйте последовательные значения случайных чисел R из первого столбца табл. 18.1.

5. В имитационной модели телевизионные блоки проверяются на наличие де­фектов. В 80 % случаев блок успешно проходит проверку и упаковывается, иначе он ремонтируется. Символически эту ситуацию можно представить одним из двух способов.

Выполнить ремонт с вероятностью 0,2, упаковать с вероятностью 0,8.

Упаковать с вероятностью 0,8, выполнить ремонт с вероятностью 0,2.

Эти два способа кажутся эквивалентными. Однако при моделировании этой ситуации с помощью одной и той же заданной последовательности случай­ных чисел из интервала [0, 1] эти представления могут дать различные ре­зультаты (в виде "выполнить ремонт" или "упаковать"). Объясните, почему.

6. Игрок подбрасывает симметричную монету до тех пор, пока не появится ее лицевая сторона (герб). Результирующая выплата равна 2", где п — число подбрасываний до появления лицевой стороны монеты.

a) Разработайте имитационную модель игры.

b) Используйте случайные числа из первого столбца табл. 18.1, чтобы опре­делить накопленное значение выплаты после того, как лицевая сторона монеты появится два раза.

7. Треугольное распределение. В имитационном моделировании при недостатке данных часто невозможно определить вероятностное распределение, соот­ветствующее моделируемым ситуациям. Во многих таких случаях может

18.3. Элементы дискретного моделирования

оказаться полезным описание распределения случайной переменной путем оценки ее наименьшего, наиболее вероятного и наибольшего значений. Этих трех величин достаточно для вычисления треугольного распределения, которое можно использовать в качестве "черновой" оценки истинного распределения.

а) Разработайте формулу для получения случайных значений, соответствующих треугольному распределению, параметрами которого являются константы а, Ьис,а<Ь<с,и плотность вероятности которого задается формулой

/(*) =

Х-

(Ь-а)(с-а) 2(с-х)

(с-Ь){с-аУ

а<х<Ь, Ь<х<с.

Ь) Получите три значения, соответствующие треугольному распределению с параметрами (1, 3, 7), используя для этого три первых случайных числа первого столбца табл. 18.1.

8. Разработайте процедуру получения случайных значений, подчиняющихся распределению, плотность вероятности которого состоит из прямоугольника, граничащего слева и справа с двумя прямоугольными треугольниками (вертикальными катетами этих треугольников являются стороны прямо­угольника). Соответствующие основания левого треугольника, прямоуголь­ника и треугольника справа равны [а, Ь], [Ь, с] и [с, d], а < b < с < d. Каждый треугольник имеет высоту, равную высоте прямоугольника.

Определите пять случайных значений, которые соответствуют описанному выше распределению с набором параметров (а, Ь, с, d) = (1, 2, 4, 6), используя при этом пять первых случайных чисел из первого столбца табл. 18.1.

9. Геометрическое распределение. Покажите, как можно получить случайное значение, подчиняющееся геометрическому распределению

f(x)=p(l-p)', * = 0,1,2,...,

где х — число неудач в схеме Бернулли до первого появления успеха, р — веро­ятность успеха, 0 <р < 1. Сгенерируйте пять случайных значений прир = 0,6.

10. Распределение Вейбулла? Покажите, как можно получить случайное значе­ние, подчиняющееся распределению Вейбулла, плотность вероятности кото­рого имеет вид

f(x) = a$-^ax^a-^le ^Ы, х>0, где а> 0 — параметр формы, /?> 0 — параметр масштаба.

Метод сверток. Основная идея данного метода состоит в том, чтобы выразить искомую случайную величину в виде суммы других случайных величин, для кото­рых легко получить реализации случайных значений². Типичными среди таких распределений являются распределения Эрланга и Пуассона, которые можно полу­чить из экспоненциального распределения.

¹ В русской математической литературе это распределение также имеет название "распределение Вейбулла-Гнеденко". — Прим. ред.

² Функцию распределения суммы случайных величин можно выразить через функции рас­пределения слагаемых в виде так называемого интеграла свертки, а операцию суммирования слу­чайных величин иногда называют операцией свертки. Отсюда идет название метода. — Прим. ред.

Глава 18. Имитационное моделирование

Пример 18.3.3. Распределение Эрланга

Случайная величина, имеющая распределение Эрланга с параметром т (т — целое число), определяется как сумма (свертка) т независимых случайных величин, каж­дая из которых имеет экспоненциальное распределение с параметром Л. Пусть у — случайная величина, подчиняющаяся распределению Эрланга с параметром т. Тогда

У ⁼ У1⁺У2⁺ — +Ут,

где у,- (/ = 1, 2, т) — независимые экспоненциально распределенные случайные величины, плотность вероятности которых задается формулой

/(у,) = ^\ у, >0, 1 = 1,2,...,т.

Как следует из примера 18.3.2, случайное значение, имеющее (/-е) экспоненциаль­ное распределение, вычисляется по формуле

y,.=-Q-jln(/?,), / = 1,2,....т.

Следовательно, значение случайной величины Эрланга с параметром т можно вы­числить как

y = -^j[ln(/?J + b(/?₂) ₊... + ln(/?j] = -^jln(/?₁/?₂.../?,„).

В качестве иллюстрации применения этой формулы предположим, что т = 3 и Л = 4 события в час. Первые три случайных числа из первого столбца табл. 18.1 дают та­кой результат: R_iR₂R₃ = 0,0589 х 0,6733 х 0,4799 = 0,0190, что в свою очередь при­водит к значениюу = -(1/4)1п(0,019) = 0,991 часа.

Пример 18.3.4. Распределение Пуассона

Если время между некоторыми событиями представляет собой случайную величину, распределенную по экспоненциальному закону, то распределение числа событий, про­исходящих в единицу времени, будет пуассоновским, и наоборот. Этот факт использу­ется для получения случайных значений, подчиняющихся распределению Пуассона.

Пусть для рассматриваемого распределения Пуассона среднее количество событий в единицу времени равно Л. Тогда время между событиями является случайной ве­личиной, имеющей экспоненциальное распределение со средним, равным 1/Л еди­ниц времени. Это означает, что на протяжении t единиц времени будет иметь место п событий (число п подчиняется распределению Пуассона) тогда и только тогда, когда

время до реализации события п < t < время до реализации события п + 1.

Это условие можно записать следующим образом:

f, + г₂ +... + г„ < t < г, + h +... + t_n+i, п > 0,

0 < г <г,, л = 0,

где t, — случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению со средним 1/Л. Принимая во внимание результат примера 18.3.3, имеем

-fl]ln(/?,/?₂.../?„)< /<-fi]ln(/?,/?₂.../?„₊,), п>0,

18.3. Элементы дискретного моделирования

0<г<~

я = 0.

Отсюда получаем

Л₁Л_г...Л„>е"¹'>Л₁Л₂...Л,

п>0,

l>e-^iJ>R_v /1 = 0.

Проиллюстрируем описанный подход на следующем примере. Пусть необходимо получить случайное значение, соответствующее распределению Пуассона со сред­ней частотой Л=4 события в час, при f = 0,5 часа. Это нам дает е'^м = 0,1353. Ис­пользуя случайные числа первого столбца табл.18 1, замечаем, что Л, = 0,0589 меньше е^м = 0,1353. Следовательно, /1 = 0.

Пример 18.3.5. Нормальное распределение

Центральная предельная теорема (см. раздел 12.4.4) утверждает, что сумма я оди­наково распределенных случайных величин стремится к нормально распределен­ной величине при бесконечном увеличении п. Мы используем этот результат для получения значений, соответствующих нормальному распределению с математиче­ским ожиданием ju и стандартным отклонением а.

Обозначим х = Л, + Л₂ +... + Д„, где Л_1? Л₂, Л„ — случайные числа, равномерно распределенные в интервале [0, 1]. В соответствии с центральной предельной тео­ремой случайная величина х является асимптотически нормальной величиной со средним л/2 и дисперсией я/12. Следовательно, случайная величина у, подчиняю­щаяся нормальному распределению N(ju, о) с математическим ожиданием ju и стан­дартным отклонением а, может быть получена из случайной величины х по формуле

Для удобства в практических задачах я обычно выбирается равным 12, что приво­дит предыдущую формулу к виду у = + ot* - 6).

Для демонстрации этого метода предположим, что необходимо получить случайное значение, соответствующее нормальному распределению N(10, 2) (математическое ожидание ц = 10 и стандартное отклонение сг= 2). Вычисляя сумму первых 12 слу­чайных чисел из первого и второго столбцов табл. 18.1, получаем х = 6,1094. Сле­довательно, у = 10 + 2(6,1094 - 6) = 10,2188.

Неудобство этой процедуры состоит в том, что необходимо генерировать 12 случай­ных чисел из интервала [0,1] для получения одного выборочного значения, соответ­ствующего рассматриваемому нормальному распределению, что делает ее малоэф­фективной с вычислительной точки зрения. В соответствии с более эффективной процедурой решения этой же задачи необходимо использовать преобразование

х

п

Глава 18. Имитационное моделирование

Бокс и Мюллер (Box and Muller) [1] доказали, что случайная величина х является стандартной нормально распределенной случайной величиной, т.е. имеет распре­деление N(0, 1). Следовательно, у = //+■ ах дает значение, подчиняющееся нормаль­ному распределению N(p., а). Эта процедура является более эффективной, так как требует генерирования всего двух случайных чисел из интервала [0, 1].

В действительности данный метод (метод Бокса-Мюллера) является еще более эф­фективным, так как Бокс и Мюллер доказали, что предыдущая формула дает дру­гое значение, также имеющее нормальное распределение N(0, 1), если cos(2/rf?₂) за­менить на sin(2^/?₂). Это значит, что два случайных числа R₁ и R₂ из интервала [0,1] можно использовать для одновременного получения двух значений, соответствую­щих нормальному распределению N(0, I).³

В качестве иллюстрации применим метод Бокса-Мюллера для нахождения значе­ний, подчиняющихся нормальному распределению N(10, 2). Два первых случай­ных числа первого столбца табл. 18.1 приводят к следующим значениям, подчи­няющимся нормальному распределению N(0, 1):

Следовательно, соответствующие значения, имеющие нормальное распределение N(10, 2), равны

УПРАЖНЕНИЯ 18.3.3⁴

1. В задаче примера 18.3.3 вычислите случайное значение, соответствующее распределению Эрланга при т = 4 и X = 5.

2. В задаче примера 18.3.4 сгенерируйте три случайных значения, соответст­вующих распределению Пуассона для одночасового периода при математиче­ском ожидании 5 событий в час.

3. В задаче примера 18.3.5 сгенерируйте два случайных значения, соответст­вующих нормальному распределению N(8, 1), используя как метод сверток, так и метод Бокса-Мюллера.

4. Работы поступают в металлообрабатывающий цех в соответствии с распреде­лением Пуассона с математическим ожиданием шесть работ в день. Цех име­ет пять обрабатывающих центров, на которые контролер направляет полу­ченные работы строго по очереди. Определите одно случайное значение интервала между получением работ на первом обрабатывающем центре.

5. Проведен стандартный тест ACT среди выпускников одного класса средней школы небольшого городка. Результаты теста являются нормально распре­

Интересно отметить, что две случайные величины, получаемые в методе Бокса-Мюллера по схожим формулам, причем зависимые от одних и тех же равномерно распреде­ленных случайных величин, независимы между собой. — Прим. ред.

⁴ Для всех приведенных здесь задач используйте случайные числа из табл. 18.1, начиная с первого столбца.

у, = 10 + 2(-1,103) = 7,794, у₂= 10 + 2(-2,108) = 5,782.

18.3. Элементы дискретного моделирования

деленной случайной величиной с математическим ожиданием 27 баллов и стандартным отклонением 3 балла. Используя метод Бокса-Мюллера, по­лучите случайные значения показателей шести выпускников этого класса.

6. Профессор психологии Ятаха проводит обучающий эксперимент, в котором мыши приучаются находить путь внутри лабиринта. Основой лабиринта яв­ляется квадрат. Мышь впускают в лабиринт через один из четырех его углов, и она должна найти путь через лабиринт таким образом, чтобы выйти из него через этот же угол. Конструкция лабиринта такова, что до своего выхода из лабиринта мышь должна пройти через оставшиеся три угла в точности по од­ному разу. Многовариантные пути лабиринта соединяют четыре его верши­ны строго в направлении вращения часовой стрелки. Профессор считает, что время, которое мышь тратит для перехода от одной вершины лабиринта до другой, является случайной величиной, равномерно распределенной на ин­тервале от 10 до 20 секунд. Опишите процедуру получения случайного зна­чения для времени пребывания мыши в лабиринте.

7. Пусть в ситуации, описанной в предыдущем упражнении, как только одна мышь покидает лабиринт, другая в тот же миг входит в него. Опишите про­цедуру получения случайного значения для количества мышей, которые пройдут лабиринт на протяжении 5 мин.

8. Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля). По­кажите, как можно вычислить случайное значение, имеющее отрицательное биномиальное распределение, плотность вероятности которого имеет вид

f(x)=[^{y+ X}_x~ⁱy{l-_P)\*= 0,1,2,..,

где х — число неудач в последовательности независимых испытаний Бернулли до получения у-го успеха, р — вероятность успеха, 0 <р < 1. (Подсказка. Слу­чайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение, является сверткой (суммой) независимых случайных величин, подчиняю­щихся геометрическому распределению. См. также упражнение 18.3.2.9.)

Метод отбора.⁵ Данный метод разработан для получения значений случайных величин со сложными функциями плотностей вероятностей, к которым нельзя применить изложенные выше методы. Общая идея данного метода сводится к за­мене сложной плотности вероятности f(x) более удобной с аналитической точки зре­ния плотностью вероятности h(x). Затем значения, соответствующие плотности h(x), используются для получения значений, соответствующих исходной плотности f(x).

Для плотности вероятности f(x) определяем такую мажорирующую функцию g(x), что

g(x) > f(x), -со < X < со.

Теперь определим плотность вероятности h(x) путем нормализации функции g(x):

h(_x) = -сю<_х<сю. \g{y)dy

В русскоязычной математической литературе этот метод иногда также называют мето­дом отказов, что больше соответствует английскому названию acceptance-rejection method. — Прим. ред.

Глава 18. Имитационное моделирование

В методе отбора последовательно выполняются следующие действия.

Этап 1. С помощью метода обратной функции или метода свертки получа­ем случайное значение л: = лс,, соответствующее плотности вероят­ности h(x).

Этап 2. Генерируем случайное число R из интервала [0,1].

ЭтапЗ. Если Д<следует принять х₁ как искомое значение, со­ответствующее распределению f(x). Иначе необходимо вернуться к этапу 1, отбросив значение х_г

Обоснованность этого метода вытекает из следующего равенства:

а

P{x<a\x = x_t принимается, -оо <*,<<»} = jf(y)dy, -оо<а<оо.

Это вероятностное соотношение означает, что значение х = x_v удовлетворяющее условию этапа 3, в действительности является значением, соответствующим ис­ходной плотности вероятности f(x), что и требуется.

Эффективность предложенного метода можно повысить, уменьшив вероятность отклонения значения х₁ на этапе 3. Эта вероятность зависит от выбранной функции g(x) и должна уменьшаться с выбором такой функции g(x), которая более "точно" мажорирует функцию f(x).

Пример 18.3.6. Бета-распределение

Используем метод отбора, чтобы найти значение, соответствующее бета-распреде­лению, плотность вероятности которого задается формулой

fix) = 6х(1 - х), 0< х<1.

На рис. 18.6 изображены функция^*) и мажорирующая ее функция g(x).

х

Рис. 18.6. Иллюстрация к методу отбора

Высота мажорирующей функции g(x) равна максимальному значению функции J[x), которого она достигает в точке* = 0,5. Это значит, что^(х) = 1,5, 0 <х < 1.

Функция плотности "замещающего" распределения h{x), также представленная на рис. 18.6, вычисляется согласно соотношению

h(x) =-^-_ = -J^_ = i, о<*<1.

площадь под g(x) 1x1,5

18.3. Элементы дискретного моделирования

Следующие действия демонстрируют применение процедуры метода отбора с ис­пользованием последовательности случайных чисел из табл. 18.1.

Этап 1. Использование числа R = 0,0589 приводит к случайному значению х = 0,0589, соответствующему плотности h(x).

Этап 2. Выбираем из табл. 18.1 следующее число R = 0,6733.

ЭтапЗ. Так как 7(0,0589)/g(0,0589) = 0,3326/1,5= 0,2217 меньше R = 0,6733, мы отбрасываем значение* = 0,0589.

Для получения второго значения повторяем действия.

Этап 1. Использование числа Л = 0,4799 (из первого столбца табл. 18.1) приводит к случайному значению х = 0,4799, соответствующему плотности И(х).

Этап 2. Выбираем из табл. 18.1 следующее число R = 0,9486.

Этап 3. Так как y(0,4799)/g(0,4799) = 0,9984 больше R = 0,9486, мы при­нимаем значение х = 0,4799 как соответствующее бета-распределению.

Из этого примера видно, что итерации метода отбора должны повторяться с новы­ми значениями случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0, 1], до тех пор, пока не будут выполнены условия этапа 3.

Эффективность метода отбора повышается в результате выбора такой мажори­рующей функции g(x), которая "облегала" бы функцию f(x) как можно более плотно, порождая в то же время приемлемую с аналитической точки зрения ап­проксимирующую функцию h(x). Например, метод будет более эффективным, если прямоугольную мажорирующую функцию g(x) на рис. 18.6 заменить ступенчатой (см. упражнение 18.3.4.2). С увеличением числа ступеней функция g(x) становится все более прилегающей к функции f(x), и, следовательно, возрастает вероятность принятия полученного случайного значения как искомого. Однако получение тесно прилегающей мажорирующей функции влечет за собой дополнительные вычисле­ния, которые могут стать чрезмерными, что, в свою очередь, может свести на нет преимущества высокой вероятности принятия полученных значений.

УПРАЖНЕНИЯ 18.3.4

1. В примере 18.3.6 продолжите выполнение процедуры метода отбора до полу­чения следующего приемлемого случайного значения.

2. Рассмотрим плотность вероятности бета-распределения из примера 18.3.6. Определите двухступенчатую "пирамидальную" мажорирующую функцию g(x) с двумя равными скачками величины 0,75. Получите случайное значе­ние, соответствующее бета-распределению, с использованием новой мажори­рующей функции и тех же случайных чисел из интервала [0, 1] (табл. 18.1), которые использовались в примере 18.3.6. Вывод, который можно здесь сде­лать, сводится к тому, что использование более точной мажорирующей функции повышает вероятность принятия полученного значения как иско­мого. Заметьте, однако, что объем вычислений, связанных с использованием новой функции, увеличился.

Глава 18. Имитационное моделирование

3. Определите функции g(x) и h(x) для применения метода отбора к плотности распределения следующего вида:

. sin(*) + cos(;c) „ ж

/<х) = —i-i-0<хй-.

^w 2 2

Используйте случайные числа из первого столбца табл. 18.1 для получения двух значений, соответствующих плотности распределения f(x). (Совет. Для удобства используйте прямоугольную функцию g(x) над областью определе­ния функции f(x).)