Инвестиции в В 10 страница

Глава 17. Системы массового обслуживания

Ограничение списка ожидающих в очереди до 6 клиентов равносильно тому, что емкость системы становится равной 7V = 6 + 4= 10 клиентов. Следовательно, мы имеем дело с системой обслуживания модели (М/М/4): (GD/10/по) с Л = 16 клиентов в час и ju= 5 поездок в час. На рис. 17.9 представлены выходные данные, получен­ные с помощью программы TORA для этой модели.

Title: Example 17.6-6

Scenario 1- (M /M/4):(GD / 10/infin ity)

Lambda = 16,00000 Mu= 5,00000

Lambda eff = 15,42815 Rho/c = 0,80000

Ls= 4,23984 Lq= 1,15421

Ws= 0,27481___Wq= 0,07481

n	Probability, pn Cumulative, Pn	n	Probability, pn Cumulative, Pn
	0,03121	0,03121		0,08726 0,79393
	0,09986	0,13106		0,06981 0,86374
	0,15977	0,29084		0,05584 0,91958
	0,17043	0,46126		0,04468 0,96426
	0,13634	0,59760		.0,03574 1,00000
	0,10907	0,70667

Рис. 17.9. Выходные результаты программы TORA для примера 17.6.6

Среднее время ожидания W_q при отсутствии ограничения на емкость системы равня­ется 0,149 ч (я 9 мин.) (см. рис. 17.8), что почти в два раза больше значения 0,075 ч (» 4,5 мин.) м— аналогичного показателя при наличии ограничения на емкость системы. Это существенное уменьшение функциональной характеристики системы достигнуто за счет потери примерно 3,6 % потенциальных клиентов. Этот результат, однако, не от­ражает возможной потери расположения клиентов к деятельности службы такси.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.6

1. В примере 17.6.6 определите следующие показатели.

a) Среднее количество свободных такси.

b) Вероятность того, что клиент, вызывающий такси, будет последним из тех, кто ставится в очередь.

c) Максимальное число ожидающих в очереди клиентов при условии, что время ожидания не превышает трех минут.

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 673

2. Газозаправочная станция для автомобилей располагает двумя газовыми насоса­ми. В очереди, ведущей к насосам, могут расположиться не более пяти автома­шин, включая те, которые обслуживаются. Если уже нет места, прибывающие автомобили уезжают искать другую заправку. Распределение прибывающих ав­томобилей является пуассоновским с математическим ожиданием 20 автомоби­лей в час. Время обслуживания клиентов имеет экспоненциальное распределе­ние с математическим ожиданием 6 мин. Определите следующие величины.

a) Процент автомобилей, которые будут искать другую заправку.

b) Процент времени, когда используется только один из насосов.

c) Процент времени использования двух насосов.

d) Вероятность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное ме­сто в очереди.

e) Емкость очереди, которая обеспечит потерю в среднем не более 10 % по­тенциальных клиентов.

f) Емкость очереди, при которой вероятность того, что оба насоса свободны, не превышает 0,05.

3. В небольшой ремонтной мастерской работают три механика. В начале марта каждого года клиенты приносят в мастерскую свои культиваторы и газоноко­силки для ремонта и технического обслуживания. Мастерская стремится при­нять все, что приносят клиенты. Однако когда очередной клиент видит на полу мастерской массу механизмов, ожидающих обслуживания, он уходит в другое место в поисках более быстрого обслуживания. На полу мастерской размещается не более 15 культиваторов или газонокосилок, не учитывая тех, которые уже ре­монтируются. Клиенты прибывают в мастерскую в среднем каждые 10 мин., а механик тратит на один ремонт в среднем 30 мин. Как время между последова­тельными приходами клиентов, так и время выполнения работы подчиняются экспоненциальному распределению. Определите следующие величины.

a) Среднее число незанятых механиков.

b) Число потерянных потенциальных клиентов на протяжении десятичасо­вого рабочего дня по причине ограниченной емкости мастерской.

c) Вероятность того, что следующий клиент будет обслужен в мастерской.

d) Вероятность того, что по крайней мере один механик будет свободен.

e) Среднее количество культиваторов и газонокосилок, которые ожидают обслуживания.

f) Показатель общей производительности мастерской.

4. Студенты первого курса одного из американских университетов приезжают на лекции на своих автомобилях (даже несмотря на то, что большинство из них нуждаются в проживании на территории университета и могут пользоваться удобной университетской бесплатной транспортной системой). На протяже­нии первых двух недель осеннего семестра на университетской территории преобладает беспорядок в транспортном движении, так как первокурсники отчаянно пытаются найти места для стоянки автомашин. С необычной само­отверженностью студенты терпеливо ожидают на пешеходных дорожках возле стоянок для автомашин, когда кто-нибудь заберет свою автомашину, чтобы можно было поставить на стоянку свои авто. Рассмотрим следующий ха­рактерный сценарий. Автостоянка имеет 30 мест, но может также расположить

Глава 17. Системы массового обслуживания

еще 10 автомашин на пешеходных дорожках. Эти 10 автомашин не могут по­стоянно оставаться на пешеходных дорожках и должны ожидать, пока хоть одно место на стоянке освободится. Первокурсники прибывают к автостоянке в соответствии с распределением Пуассона с математическим ожиданием 20 ав­томашин в час. Время пребывания автомашины на стоянке подчиняется экс­поненциальному распределению со средним значением примерно 60 минут.

a) Каков процент первокурсников, вынужденных повернуть обратно по той причине, что они не смогли поставить автомашину на стоянку?

b) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль будет ожидать на пешеходной дорожке?

c) Какова вероятность того, что прибывающий автомобиль займет единст­венное оставшееся место на стоянке?

d) Определите среднее количество занятых мест на стоянке.

e) Определите среднее количество занятых мест на пешеходных дорожках.

f) Определите среднее число первокурсников, которые не попадут на лекции на протяжении восьмичасового периода, так как стоянка будет занята.

5. Проверьте правильность формулы для р₀ в модели (М/М/с): (GD/JV/⁰⁰) для случая, когда р/с ф 1.

6. Для модели (М/М/с): (GD/iV/oo) докажите равенство \_т = цс, где с — сред­нее количество занятых сервисов.

7. Проверьте правильность формул для р₀ и L_g в модели (M/M/c):(GD/N/x>) для случая, когда р/с = 1.

8. Для модели (М/М/с): (GD/iV/°°) при N = с из соотношений для общей мо­дели (раздел 17.5) определите Л_п и р_п, затем покажите, что формула для р_п имеет такой вид:

Модель самообслуживания (М/М/<я): (GD/oo/oo). В этой модели количество сер­висов является неограниченным, так как клиент выступает одновременно и в роли сервиса. Типичным примером модели самообслуживания является сдача письмен­ной части экзамена на право вождения автомобиля. Газозаправочные станции ав­томобилей с самообслуживанием и банковские автоматы с 24-часовым режимом работы не вписываются в рассматриваемую здесь модель, так как обслуживающи­ми устройствами в этих случаях являются, по существу, насосы и банковские ав­томаты соответственно.

В рассматриваемой модели предполагается, что интенсивность поступления клиентов Я является постоянной. Интенсивность обслуживания р также является постоянной. Воспользовавшись общей моделью из раздела 17.5, имеем

Р„ = —А)> " = 1.2, с,

где

Я_л = Я, п = 0, 1, 2, р„ = пр, п = 0,1, 2,...

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 675

Таким образом,

Р„ =

Из равенства ₀р„ = 1 следует, что

Ро =

-р

1 +P + —+... 2!

В результате получаем

P, =

, и = 0, 1,2,...

и!

Эти вероятности совпадают с вероятностями распределения Пуассона с математи­ческим ожиданием L_a = р. Как и следовало ожидать, здесь (по принципу самооб­служивания) L_q = W = 0.

Инвестор вкладывает 1000 долл. в месяц в специальный тип облигаций фондовой биржи. Так как инвестор должен ждать возможности хорошей "покупки", фактиче­ское время совершения этой покупки является случайным. Инвестор обычно держит облигации в среднем три года, но продаст их в случайный момент времени, когда представится такая возможность. Хотя инвестор известен как хитрый биржевой иг­рок, опыт прошлого показывает, что около 25 % облигаций теряют в цене примерно 20 % в год. Остальные 75 % облигаций повышаются в цене примерно на 12 % в год. Оценим среднюю стоимость акций инвестора на протяжении длительного периода.

Эту ситуацию можно представить в виде модели (М/М/ю): (GD/oo/oo), так как инве­стор не должен ждать в очереди, чтобы купить или продать облигации. Среднее время между размещениями заказа равняется 1 месяц, что дает значение Я = 12 об­лигаций в год. Интенсивность продажи облигаций равна р= 1/3 облигаций в год.

При указанных значениях Я и //получаем

Средняя годовая стоимость облигаций инвестора на протяжении длительного пе­риода оценивается следующей величиной:

Пример 17.6.7

L_s = р = — = 36 облигаций.

(0,25L_sx 1000)(1 -0,20) +(0,751, х 1000)(1 + 0,12) = 37 440 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.7

1. В примере 17.6.7 вычислите следующие показатели.

a) Вероятность того, что инвестор продаст все свои облигации.

b) Вероятность того, что инвестор будет иметь больше 10 облигаций.

c) Вероятность того, что инвестор будет иметь от 30 до 40 облигаций.

Глава 17. Системы массового обслуживания

d) Оцените среднюю стоимость акций инвестора на протяжении длительного периода, если только 10 % облигаций теряют в цене 30 % в год, а осталь­ные 90 % повышаются в цене на 15 % в год.

2. Новые водители перед тем, как им выдадут задание по дорожному вождению, должны сдать письменную часть (тесты) экзамена на право вождения автомо­биля. Эти тесты обычно проводятся городским управлением полиции. Стати­стика показывает, что среднее количество письменных тестов за 8-часовой день равняется 100. Среднее время, необходимое для выполнения теста, рав­но примерно 30 мин. Однако фактическое прибытие каждого экзаменующе­гося и время, которое он тратит на сдачу экзамена, являются случайными величинами. Необходимо определить следующее.

a) Среднее количество посадочных мест в зале для сдачи экзамена, которое должно обеспечить управление полиции.

b) Вероятность того, что число экзаменующихся превысит среднее количе­ство посадочных мест в зале для сдачи экзамена.

c) Вероятность того, что в какой-нибудь день не будет проведено ни одного экзамена.

3. Покажите (используя программное обеспечение TORA), что для малого па­раметра р=0,1 значения величин W_t, L_s, W, L_q и p_n в модели (М/М/с): (GD/oo/cc) при с > 4 сервисов можно надежно оценить с помощью менее громоздких формул для модели (М/М/оо): (GD/oo/oo).

4. Повторите предыдущее упражнение для значения р=9 и покажите, что в этом случае значение с должно быть больше 20. Какой общий вывод можно сде­лать относительно использования модели (М/М/оо): (GD/oo/oo) для оценки показателей модели (М/М/с): (GD/oo/oo), исходя из результатов, получен­ных в упражнениях 3 и 4?

17.6.4. Модель (MIMIR): (GD/КУК) при R < К

Базовым примером для этой модели является цех, насчитывающий К станков. Всякий раз, когда станки выходят из строя, прибегают к услугам одного из механи­ков, бригада которых состоит из R человек. Интенсивность поломок, отнесенная к одному станку, равняется Л поломок в единицу времени. Механик ремонтирует сло­манные станки с интенсивностью //станков в единицу времени. Предполагается, что моменты времени поломок и время ремонта подчиняются распределению Пуассона.

Эта модель отличается от всех рассмотренных ранее тем, что мощность источ­ника, генерирующая "клиентов", конечна. Например, в модели цеха источник может породить конечное количество заявок на ремонт. Это положение становится очевидным, если предположить, что все станки в цехе сломаны, тогда больше не поступит ни одной заявки на ремонт. По существу, лишь работающие станки могут сломаться и, следовательно, генерировать заявки на ремонт.

При заданной интенсивности Л поломок на один станок интенсивность по­ломок во всем цехе пропорциональна количеству станков в рабочем состоянии. В терминологии систем обслуживания наличие п станков в системе означает, что п станков сломаны. Следовательно, интенсивность поломок во всем цехе вы­числяется так:

Л_п = (К-п)Л, 0<п<К.

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 677

В обозначениях общей модели системы обслуживания из раздела 17.5 имеем следующее:

\(К-п)К 0<п<К,

о,

п>К,

/;ц, 0 < п < R, Лц, R<n<K, О, п > К.

Теперь из общей модели можно получить (проверьте!) следующие формулы:

С;_Р>₀, 0<n<R,

Q-^ТРо. R^n < К,

^A,={§^QP"⁺„§,^Q^

В этой модели трудно получить в замкнутой форме выражение для L_s или L_q, и, следовательно, они должны вычисляться в соответствии с их определением:

к

н=0

Значение Я_эфф можно определить в следующей форме:

A^ = M{A(K-n)} = A(K-L). Используя формулы из подраздела 17.6.1, можно вычислить оставшиеся функцио­нальные показатели W, W и L.

Пример 17.6.8

Компания располагает цехом, насчитывающим 22 станка. Известно, что каждый станок выходит из строя в среднем один раз в два часа. На его ремонт уходит в среднем 12 мин. Как время между поломками станков, так и время, необходимое для ремонта, являются экспоненциально распределенными случайными величи­нами. Компания заинтересована в определении минимального числа механиков, необходимых для обеспечения "плавной" работы цеха.

Описанную ситуацию можно проанализировать, исследуя производительность станков как функцию числа механиков. Такая мера производительности может быть определена в следующем виде.

(^Производительность^ Количество станков-сломанные станки,__

=-хЮ0 =

^ станков) Количество станков

22 -L

=-г-хЮО.

На рис. 17.10 представлены полученные с помощью программы TORA сравнитель­ные характеристики обслуживающей системы для R = 1, 2, 3,4 при А = 0,5 поломки в час на один станок и /j = 5 ремонтов в час. Соответствующие значения производи­тельности представлены в следующей таблице.

Глава 17. Системы массового обслуживания

Количество механиков, R
Производительность станков (%)	45,44	80,15	88,79	90,45
Рост производительности (%)	—	34,71	8,64	1,66

Приведенные результаты показывают, что неприемлемым является наличие лишь одного механика, так как в этом случае будет очень низкая производительность (45,44%). Если число механиков увеличивается до двух, то производительность станков возрастает на 34,71 % и достигает 80,15 %. При работе трех механиков про­изводительность станков возрастает примерно на 8,64 % и достигает значения 88,79 %, в то время как при наличии четырех механиков производительность воз­растает лишь на 1,66 % и достигает значения 90,45 %.

Судя по этим результатам, использование двух механиков может быть оправданным. Ситуация с тремя механиками является не такой убедительной, так как производи­тельность при этом возрастает лишь на 8,64 %. Возможно, что сравнение в денежном эквиваленте содержания третьего механика и прибыли, обусловленной ростом про­изводительности станков, на 8,64 % можно использовать для решения этого вопроса (см. раздел 17.10, где рассматриваются стоимостные характеристики модели). Что касается приема на работу четвертого механика, то скудный рост производительно­сти станков на 1,66 %, который при этом достигается, не оправдывает данного шага.

Title: Example 17.6-8

Compa rative A nalysis______________________________

Scenario	с	Lambda	Mu	L'daeff	P0	Ls	Lq	Ws	Wq
		0,50000	5,00000	4,99798	0,00040	12,00404	11,00444	2,40178	2,20178
		0,50000	5.00000	8,81616	0,05638	4,36768	2,60447	0,49542	0,29542
		0,50000	5.00000	9,76703	0,10779	2,46593	0,51257	0,25247	0,05248
		0,50000	5,00000	9,94995	0,11993	2,10010	0,11015	0,21107	0,01107

Рис. 17.10. Сравнительные характеристики системы из примера 17.6.8, полученные с по­мощью программы TORA

УПРАЖНЕНИЯ 17.6.8

1. В примере 17.6.8 выполните следующее.

a) Проверьте значения величин Я_эфф, которые приведены в листинге на рис. 17.10.

b) Подсчитайте среднее число свободных механиков при R = 4.

c) Вычислите вероятность того, что все механики свободны при R = 3.

d) Вычислите вероятность того, что большинство механиков свободны при R= 3 иR= 4.

2. В примере 17.6.8 определите и затем вычислите производительность работы механиков при R= 1, 2, 3, 4. Используйте эту информацию вместе с показа­телем производительности станков для решения вопроса о количестве меха­ников, которых компании следует принять на работу.

17.6. Специализированные системы обслуживания с пуассоновским распределением 679

3. В вычислениях, которые приведены в листинге на рис. 17.10, может вы­звать недоумение то обстоятельство, что средняя интенсивность поломки станков в цехе Я_эфф увеличивается с ростом R. Объясните, почему следует ожидать увеличения Я_эфф.

4. Оператор обслуживает пять автоматических станков. После того как каждый станок завершает выполнение пакета программ, оператор должен его перена­строить на выполнение нового пакета. Время выполнения пакета программ является экспоненциально распределенной случайной величиной со средним значением 45 мин. Время наладки также описывается экспоненциальным распределением с математическим ожиданием 8 мин.

a) Определите среднее количество станков, которые ожидают наладки.

b) Вычислите вероятность того, что все станки работают.

c) Определите среднее время простоя станка.

5. Обслуживающая фирма выполняет разнообразные работы, такие как уборка в саду, хозяйственные работы, подрезка деревьев и покраска домов. Четыре сотрудника фирмы оставляют контору, каждый получив свое первое задание. После выполнения задания сотрудник может позвонить в контору и получить информацию относительно следующей заявки. Время выполнения задания имеет экспоненциальное распределение со средним значением 45 мин. Время переезда между последовательными работами также имеет экспоненциаль­ное распределение со средним значением 20 мин.

a) Определите среднее число сотрудников фирмы, которые перемещаются между последовательными работами.

b) Вычислите вероятность того, что нет ни одного сотрудника в процессе пе­ремещения.

6. После долгого ожидания, благодаря чудесам медицины, семья Ньюборнов была вознаграждена рождением пяти близнецов: двух мальчиков и трех де­вочек. На протяжении пяти первых месяцев жизнь малышей состояла из двух состояний: бодрствующего (и, в основном, с криком) и спящего. По сло­вам Ньюборнов, эти состояния для малышей никогда не совпадают и прояв­ляются совершенно случайно. На самом деле госпожа Ньюборн, статистик по профессии, считает, что время, когда каждый из малышей кричит, экспо­ненциально распределено со средним значением 30 мин. Время сна каждого малыша также является экспоненциально распределенной случайной вели­чиной со средним значением 2 часа. Определите следующее.

a) Среднее число малышей, которые бодрствуют в некоторый момент времени.

b) Вероятность того, что все малыши спят.

c) Вероятность того, что Ньюборны не будут счастливы по той причине, что бодрствующих малышей (которые при этом кричат) больше, чем спящих.

7. Проверьте корректность выражения для вероятностей р_п в модели (M/M/R): (GD/K/K).

8. Покажите, что интенсивность поломок в цехе можно вычислить по формуле ^тфф ⁼ Ц^> ^гД^е R — среднее число занятых механиков.

9. Проверьте следующие формулы для ситуации, когда работает один механик (Д=1):

Глава 17. Системы массового обслуживания

Рп =

К\р'

(К-п)\

17.7. МОДЕЛЬ (M/G/1): (GD/oo/oo). ФОРМУЛА ПОЛЛАЧЕКА-ХИНЧИНА

Анализ моделей массового обслуживания, в которых входные и выходные потоки не подчиняются пуассоновскому распределению, весьма сложен. Вообще в таких случаях в качестве альтернативного аппарата для анализа моделей обслуживания целесообразно использовать методы имитационного моделирования (см. главу 18).

В этом разделе рассматривается один из немногих вариантов системы массового обслуживания, не подчиняющейся пуассоновскому распределению, для которого могут быть получены аналитические результаты. Речь идет о том случае, когда время обслуживания t имеет произвольное распределение с математическим ожи­данием M{t] и дисперсией D{t}. Для такой модели известны аналитические форму­лы для основных функциональных характеристик обслуживающей системы, таких как L_a, L_q, W_s и W. Однако в силу аналитических трудностей невозможно получить в замкнутой форме выражения для вероятностей р_п.

Пусть А — интенсивность поступления клиентов в системе обслуживания с од­ним сервисом. При заданных значениях M{t) и D{t) для времени обслуживания и условии АМ{£} < 1 с использованием сложного анализа, связанного с применени­ем аппарата цепей Маркова, можно показать, что⁴

Поскольку А_эфф = А, то остальные функциональные характеристики обслужи­вающей системы (L_q, W_t и W) можно получить из формулы для L_s, как это сделано в разделе 17.6.1.

В шаблоне Excel chl7PKFormula.xls автоматизирован процесс вычислений по этим формулам.

Пример 17.7.1

Пусть в задаче об автомойке из примера 17.6.2 сделано дополнительное предполо­жение, что установлено новое оборудование, поэтому время обслуживания для всех автомобилей является постоянным и равным 10 мин. Как новое оборудование влияет на функционирование автомойки?

Вероятность, что сервис будет незагруженным, вычисляется как

р₀ = 1-АМ{П = 1-А

⁴ Данная формула, собственно, и называется формулой Поллачека-Хинчина. —

Прим. ред.

17.7. Модель (M/G/1): (GD/oo/oc). Формула Поллачека-Хинчина

На основании данных примера 17.6.2 имеем, что Л^ = Л = 4 автомобиля в час. Вре­мя обслуживания является постоянным, так что М{/} = 10/60 = 1/6 часа и D{t) = 0. Следовательно,

4 - +

-о

6) ₂(,_4

6,333 автомобилей,

L = 1,333-[—1 = 0,667 автомобиля,

,„ 1,333 „ „„„

W_s = --= 0,333 часа,

W=—-= 0,167 часа.

* 4

Интересно отметить, что, несмотря на то, что интенсивности как поступления кли­ентов, так и обслуживания в рассматриваемой модели такие же, как и в пуассонов-ском случае из примера 17.6.2 (Я = 4 автомобиля в час и р = 1/M{t} = 6 автомобилей в час), среднее время ожидания в рассматриваемом случае меньше, так как время обслуживания является постоянным, о чем свидетельствует следующая таблица.

_ (М/М/1): (GD/qoH _ (M/D/1): (GD/oo/°o) _

W_s (часы) 0,5 0,333

W_q (часы) 0,333 0,167

В этих результатах есть смысл, поскольку постоянное время обслуживания подра­зумевает большую определенность в функционировании системы.

УПРАЖНЕНИЯ 17.7

1. В примере 17.7.1 вычислите процент времени, когда оборудование простаивает.

2. Решите задачу из примера 17.7.1, предположив, что распределение времени обслуживания задается следующим образом.

a) Равномерное на интервале от 8 до 20 мин.

b) Нормальное с р= 12 минут и а— 3 мин.

c) Дискретное со значениями, равными 4, 8 и 15 мин., и вероятностями 0,2, 0,6 и 0,2 соответственно.

3. Фирма устанавливает деревянные крыши в новых и старых жилых домах в штате Арканзас. Будущие клиенты обращаются за услугами фирмы случай­ным образом с интенсивностью 9 работ за месяц (30 дней) и заносятся в очередь в соответствии с принципом "первым пришел— первым обслуживаешься". Дома отличаются своими размерами, но есть основания утверждать, что площади крыш равномерно распределены между 150 и 300 кв. единицами (1 кв. единица = 100 кв. футов). Рабочая бригада за день может выполнить рабо­ты на 75 кв. единицах площади крыши. Определите следующие показатели.

a) Среднее количество невыполненных заказов по установке крыш.

b) Среднее время, которое клиент вынужден ждать до завершения уста­новки крыши.

Глава 17. Системы массового обслуживания

с) Если рабочая бригада за день сможет выполнить работы на 150 кв. едини­цах площади крыш, как это повлияет на среднее время ожидания завер­шения установки крыши?

4. Фирма Оптика изготавливает очки в соответствии с рецептами, которые полу­чает от своих клиентов. Каждый рабочий специализируется на изготовлении оп­ределенных типов очков. Фирма испытывает некоторые затруднения с изготов­лением бифокальных и трифокальных типов очков. Рабочие получают 30 заказов на восьмичасовой рабочий день. Время изготовления очков по рецепту нормаль­но распределено с математическим ожиданием 12 мин. и стандартным отклоне­нием 3 мин. Затем рабочий проверяет очки, затрачивая на это от 2 до 4 мин. С равномерным распределением соответствующего времени, после чего может приступить к выполнению нового заказа. Определите следующие показатели.

a) Процент времени простоя рабочего.

b) Среднее количество невыполненных заказов на изготовление бифокаль­ных и трифокальных типов очков.

c) Среднее время выполнения заказа.

5. Изделие поступает на обработку в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью одно изделие в единицу времени. Обработка изделия требует выполнения двух последовательных операций, за которыми следит один рабо­чий. Для выполнения первой операции используется полуавтоматический ста­нок, который выполняет свои операции точно за 28 мин. На второй операции осуществляются незначительные изменения и регулировка, и время ее выпол­нения зависит от качества изделия после первой операции. Время выполнения второй операции равномерно распределено на интервале от 3 до 6 мин. Так как выполнение каждой операции требует полного внимания рабочего, нельзя на­чать обработку нового изделия на полуавтоматическом станке до тех пор, пока не будет выполнена вторая операция для обрабатываемого изделия.

a) Определите количество изделий, ожидающих обработки на полуавтома­тическом станке.

b) Чему равен процент времени простоя рабочего?

c) Сколько в среднем требуется времени для обработки изделия обеими операциями?

6. Модель (M/D/l): (GD/oo/oo). Покажите, что для ситуации, когда время об­служивания постоянно (в этом случае D{t) = 0), формула Поллачека-Хинчина принимает следующий вид:

где р = Л/р = AM{t} up = 1/M{t).

7. Модель (М/Е_т/1): (GD/oo/oo). Время обслуживания подчиняется распределе­нию Эрланга с параметрами т и /^(здесь M{t] = m/pnD{t} = т/р). Покажите, что в данном случае формула Поллачека-Хинчина принимает такой вид:

L_s = то +

Wi

и(1 +т)р² 2(1-mp) '

8.

Покажите, что формула Поллачека-Хинчина сводится к формуле для L_$ в модели (М/М/1): (GD/oo/oo), когда время обслуживания подчиняется экс­поненциальному закону с математическим ожиданием 1 /р единиц времени.

17.9. Модели принятия решений в теории массового обслуживания

9. Пусть в системе обслуживания с с параллельными сервисами клиенты при­бывают в соответствии с распределением Пуассона со средней интенсивно­стью Я. Прибывающие клиенты распределяются между сервисами (занятыми или свободными) на основе строгого чередования.