Инвестиции в В 11 страница

a) Найдите распределение времени между последовательными поступле­ниями клиентов.

b) Предположите, что прибывающие клиенты случайным образом рас­пределяются между с сервисами с вероятностями a_t, a_t>0,i=l, 2, с и а₁ + а₂+... + а_с = 1. Найдите распределение времени между последова­тельными поступлениями клиентов.

17.8. ДРУГИЕ МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

В предыдущих разделах основное внимание было сосредоточено на пуассонов-ских системах массового обслуживания. Однако в литературе по теории массового обслуживания рассматривается множество других моделей. В частности, системы массового обслуживания с приоритетами и системы обслуживания непуассонов-ского типа составляют существенную часть соответствующей научной литературы. С такими моделями можно познакомиться в большинстве специальных книг по теории массового обслуживания.

17.9. МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Уровень обслуживания в системе является функцией интенсивности обслужи­вания р и количества с параллельно работающих сервисов. В этом разделе рассмат­риваются две модели принятия решений для определения "подходящих" уровней обслуживания для систем массового обслуживания: 1) модель со стоимостными ха­рактеристиками и 2) модель предпочтительного уровня обслуживания. В обеих мо­делях более высокий уровень обслуживания подразумевает уменьшение времени ожидания в системе. В этих моделях для поиска равновесия между конфликтую­щими факторами (уровнем обслуживания и временем ожидания в системе) исполь­зуются функциональные показатели обслуживающей системы, которые получены ранее для различных моделей.

17.9.1. Модель со стоимостными характеристиками

Модели со стоимостными характеристиками стремятся уравновесить два кон­фликтующих стоимостных показателя.

1. Затраты на обслуживание.

2. Потери, обусловленные задержками в предоставлении услуг (время ожида­ния клиента).

Эти два вида затрат конфликтуют между собой, так как увеличение одного из них автоматически ведет к уменьшению другого и наоборот (см. рис. 17.1).

Пусть уровень обслуживания представляет переменная х, равная //или с. Тогда модель со стоимостными характеристиками можно представить в следующем виде:

СОС(х) = СТС(х) + СТО(х),

Глава 17. Системы массового обслуживания

где

СОС — средняя общая стоимость в единицу времени,

СТС — средняя стоимость обслуживания в единицу времени,

СТО — средняя стоимость ожидания в единицу времени.

Простейшим видом функций СТС и СТО являются линейные функции:

СТС(х) = С_хх,

СТО(х) = ОД,

где

С, — удельная стоимость на единицу х в единицу времени,

С₂ — "цена" ожидания в единицу времени на (ожидающего) клиента.

Следующие два примера иллюстрируют использование стоимостной модели.

В первом примере предполагается, что х равняется интенсивности обслуживания jj,

во втором — количеству параллельных сервисов с.

Пример 17.9.1

Издательская фирма покупает высокоскоростной копировальный аппарат для коммерческих целей. Продавцы предложили четыре модели копировальных аппа­ратов, характеристики которых приведены в следующей таблице.

Модель копировального аппаратаЭксплуатационные затраты (долл./ч) Скорость печати (стр./мин.)

1 15 30

2 20 36

3 24 50

4 27 66

Заказы поступают на фирму в соответствии с пуассоновским распределением с математическим ожиданием четыре работы на протяжении 24-часового дня. Объем работы является случайной величиной, но в среднем составляет примерно 10 ООО страниц. Договоры с клиентами предусматривают штраф в сумме 80 долл. (за одну работу) за задержку выполнения заказа на один день. Какой копиро­вальный аппарат следует купить фирме?

Пусть индекс / представляет номер модели копировального аппарата / (/ = 1, 2, 3, 4). Общая ожидаемая стоимость обслуживания в день, связанная с использова­нием копировального аппарата;', представлена в следующем виде:

СОС, = СТС, + СТО, = С_и х 24 + C₂JL_si = 24С,, + 80Д„, /=1,2,3,4.

Значения величин С_и приведены в постановке задачи. Определим значения /_„, считая, что с практической точки зрения копировальный аппарат может рас­сматриваться как модель (Л//Л//1): (GD/oo/oo) обслуживающей системы. При этом интенсивность поступления заявок Я = 4 работы в день, а интенсивности ц, об­служивания, соответствующие модели /-го копировального аппарата, приведены в следующей таблице.

17.9. Модели принятия решений в теории массового обслуживания

Модель / Интенсивность обслуживания щ (работы/день)

1 4,32

2 5,18

3 7,20

4 9,50

Проиллюстрируем определение интенсивности обслуживания на примере модели 1.

п я ^{10000 1} Среднее время выполнения работы =-х — = 5,56 ч.

30 60

Следовательно,

//, =-= 4,32 работы в день.

5,56

Значения L_si, вычисленные с помощью программы TORA, приведены в следующей таблице.

Модель /'	к, (работы/день)	/л (работы/день)	Lsi (работы)
		4,32	12,50
		5,18	3,39
		7,20	1,25
		9,50	0,73
Получены следующие стоимостные характеристики (в долл.) для четырех рассмат-
риваемых моделей копировальных аппаратов.
Модель /	СТСу	СТО,	СОС/
	360,00	1000,00	1360,00
	480,00	271,20	751,20
	576,00	100,00	676,00
	648,00	58,40	706,40

Следовательно, для третьей модели копировального аппарата стоимость минимальна.

УПРАЖНЕНИЯ 17.9.1

1. В примере 17.9.1 выполните следующее.

a) Проверьте правильность вычисленных в примере значений р₂, /и₃ и //₄.

b) Предположим, что за задержку выполнения заказа штрафом в сумме 80 долл. за работу в день облагаются лишь те работы, которые не выполняются к концу дня. Для какой модели копировального аппарата общая стои­мость в день будет самой низкой?

2. Механическая мастерская нанимает механика для обслуживания парка из 10 станков. Рассматриваются две кандидатуры. Первый кандидат может вы­полнять ремонтные работы с интенсивностью 5 станков в час, и ему надо платить

Глава 17. Системы массового обслуживания

15 долл. в час. Второй претендент более квалифицирован, он может ремонтировать 8 станков в час, и ему придется платить 20 долл. в час. Руководство мастерской считает, что каждый час простоя станка приносит мастерской убыток в 50 долл. Предполагая, что станки выходят из строя в соответствии с распределением Пуассона со средним 3 станка в час, и что время ремонта имеет экспоненциаль­ное распределение, определите, какого механика следует нанять мастерской.

3. Компания, владеющая бакалейными магазинами, открывает новый магазин, где в кассовом блоке будут установлены сканеры. Мистер Браун, один из владельцев компании, ограничил выбор сканеров двумя типами: сканер А может обработать 10 изделий в минуту, а сканер более высокого качества В — 15 изделий в минуту. Дневная (10 часов) стоимость эксплуатации и тех­нического обслуживания сканеров моделей А и В равна 25 и 35 долл. соот­ветственно. Покупатели, выбрав покупки, подходят к каждой из касс в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 10 покупателей в час. Тележка каждого покупателя содержит от 25 до 35 предметов (равно­мерное распределение). Мистер Браун считает, что средняя стоимость мину­ты ожидания клиента равна примерно 10 центам. Сканеры какого типа сле­дует установить в кассовом блоке? (Подсказка. Время обслуживания одного покупателя подчиняется не экспоненциальному закону, а равномерному.)

4. Промышленная компания производит станки специального типа, произво­дительность которых можно изменять в соответствии со спецификацией за­казчиков. Компания увеличивает цену станка на 50 долл. за наращивание его производительности на одну единицу. Хозяин одной из мастерских пла­нирует купить один из таких станков и решает вопрос об определении опти­мальной (с экономической точки зрения) производительности станка. Опи­раясь на предыдущий опыт, хозяин мастерской считает, что заказы от клиентов поступают в соответствии с распределением Пуассона с интенсив­ностью три заказа в час. Объем каждого заказа в среднем составляет 500 из­делий. Договорами между хозяином и клиентами предусматривается штраф в сумме 100 долл. за задержку выполнения заказа на один час.

a) Предполагая, что время выполнения заказа распределено по экспоненци­альному закону, постройте общую стоимостную модель как функцию производительности станка /и.

b) Исходя из стоимостной модели, построенной в предыдущем пункте, най­дите формулу для оптимального значения производительности станка.

c) Исходя из данных задачи, определите оптимальное значение производи­тельности станка, которое должен указать хозяин мастерской промыш­ленной компании при оформлении заказа.

5. Работы поступают в механическую мастерскую в соответствии с распределе­нием Пуассона с интенсивностью 80 заказов в неделю. Автоматический ста­нок представляет собой узкое место в работе мастерской. Считается, что уве­личение мощности этого станка на одну единицу обойдется в 250 долл. в неделю. Невовремя выполненные работы приносят убытки в 500 долл. на од­ну работу в неделю. Основываясь на приведенной информации, определите со­ответствующую оптимальную производительность автоматического станка.

6. Фирма продает рестораны двух типов. Ресторан типа А рассчитан на 80 групп посетителей, а ресторан типа В — на 100 групп (группой считаются посетители, занимающие один столик). Месячные расходы, связанные с обслуживанием клиентов в ресторанах типа А и В, равны 12 000 и 16 000 долл. соответственно.

17.9. Модели принятия решений в теории массового обслуживания

Потенциальный покупатель планирует открыть ресторан, специализирую­щийся на приготовлении пиццы. Он оценивает, что группы посетителей при­бывают в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностью 25 групп в час. Если все столики заняты, то дополнительно прибывающие посетители ухо­дят, не дожидаясь обслуживания. Ресторан типа А позволяет обслужить 10 групп посетителей в час, а ресторан типа В — 13. Так как группы посетителей раз­личаются как по количественному составу, так и по типу заказов, то время их обслуживания распределено по экспоненциальному закону. Покупатель считает, что средние потери, обусловленные не обслуженными посетителя­ми, составляют в расчете на одного посетителя 3 долл. в час. Задержка в об­служивании клиентов, которые уже разместились в ресторане, обходится в 0,50 долл. в расчете на одного посетителя в час.

a) Постройте общую стоимостную модель, которая учитывает потери от не-обслуженных посетителей (в дополнение к расходам, связанным с обслу­живанием клиентов в ресторане и задержкой в обслуживании клиентов).

b) Предположим, что ресторан будет работать 10 часов в сутки, какой тип ресторана вы бы рекомендовали потенциальному покупателю?

7. Пусть в условиях предыдущего упражнения покупатель может выбрать лю­бую желаемую вместимость ресторана на основе определенной граничной стоимости за каждую затребованную дополнительную единицу вместимости ресторана. Постройте соответствующую этому случаю общую стоимостную модель, определите все ее элементы и характеристики.

8. Фирма занимается комиссионной торговлей товарами, которые она получает от своих клиентов на основе поручительства. Функционирование фирмы можно рассматривать как задачу управления запасами, в которой товары по­ступают на склад и извлекаются из него случайным образом в соответствии с распределением Пуассона с интенсивностями Я и //соответственно. Каждый раз, когда некоторое изделие отсутствует на складе, фирма теряет С₁ долл. по причине нереализованной возможности, а если изделие находится на складе, то за хранение необходимо платить С₂ долл.

a) Получите формулу для ожидаемой общей стоимости в единицу времени.

b) Найдите оптимальное значение параметра р = Я/р. Какое условие должно быть наложено на величины С₁ и С₂ для того, чтобы полученный результат был совместимым с предположениями модели (М/М/1): (GD/oo/oo)?

Пример 17.9.2

На инструментальный склад, где работают несколько служащих, поступают заявки на замену режущего инструмента в соответствии с распределением Пуассона со средним значением 17,5 заявки в час. Каждый служащий может выполнить в среднем 10 заявок в час. Стоимость найма нового служащего на склад составляет 12 долл. в час. Потери, связанные с ожиданием станка, оцениваются примерно в 50 долл. в час. Необходимо определить число работников для рассматриваемой системы обслуживания. Описанная ситуация соответствует модели (М/М/с), в которой требуется опреде­лить оптимальное значение с. Следовательно, х = с, и соответствующая стоимост­ная модель имеет вид

СОС(с) = С,с + C₂L_s{c) = 12с + 501,(с). Заметим, что L₅(c) является функцией количества служащих на складе.

Глава 17. Системы массового обслуживания

Используем модель (М/М/с): (GD/oo/oo) с Л = 17,5 заявок в час и ц = 10 заявок в час. В этом отношении модель достигнет устойчивого состояния лишь при ус­ловии, что с> Л//и, т.е. в рассматриваемом примере с должно быть по крайней мере равно 2. Приведенная ниже таблица содержит результаты вычислений для определения оптимального значения с. Значения L_s(c) вычислены с помо­щью программы TORA.

с	Ц(с) (заявки)	СОС(с) (долл.)
	7,467	397,35
	2,217	142,35
	1,842	140,10
	1,769	148,45
	1,754	159,70

Следовательно, оптимальным числом сотрудников для мастерской является 4.

УПРАЖНЕНИЯ 17.9.2

1. Решите задачу из примера 17.9.2, предполагая, что С, = 20 долл. и С₂ = 45 долл.

2. Компания владеет насосной станцией трубопровода, агрегаты которой ра­ботают в непрерывном режиме. Время между последовательными выхода­ми из строя каждого из агрегатов экспоненциально распределено со сред­ним значением 20 часов. Время ремонта любого агрегата также имеет экспоненциальное распределение со средним значением 10 часов. На стан­ции имеются 10 агрегатов, которые обслуживаются двумя механиками по ремонту. Заработная плата каждого из них составляет 18 долл. в час. Поте­ри, связанные с выходом из строя одного агрегата, оцениваются в 30 долл. в час. Компания изучает возможность принятия на работу еще одного ме­ханика по ремонту агрегатов.

a) Будет ли какая-либо экономия, если принять на работу еще одного меха­ника по ремонту агрегатов?

b) Чему равны потери, связанные с выходом из строя одного агрегата, когда работают два механика? А если работают три механика?

3. Компания арендует для служебных целей автоматическую телефонную ли­нию по цене 1500 долл. в месяц. Сотрудники аппарата компании используют телефонную линию в рабочее время, что в сумме составляет 200 часов в ме­сяц. Остальное время телефонная линия используется для других целей и для компании является недоступной. В течение рабочего дня арендуемой телефонной линией пользуются 100 сотрудников компании, каждому из ко­торых она может понадобиться в любое время, но в среднем 2 раза на про­тяжении восьмичасового рабочего дня с экспоненциальным распределени­ем времени между звонками. Служащий компании во всех случаях ждет освобождения телефонной линии, если она занята, при этом испытываемое им неудобство оценивается в 1 цент за минуту ожидания. Предполагается, что во время ожидания служащим освобождения линии не возникает по­требности в других звонках. Обычная стоимость минуты разговора (без ис­пользования арендованной телефонной линии) составляет в среднем 50 центов,

17.9. Модели принятия решений в теории массового обслуживания

длительность телефонных разговоров имеет экспоненциальное распределе­ние со средним значением 6 мин. Компания считает, что используемая линия телефонной связи перегружена звонками и рассматривает вопрос об аренде (по той же цене) второй автоматической телефонной линии.

a) Приносит ли аренда одной автоматической телефонной линии экономиче­скую выгоду компании по сравнению с ситуацией, когда телефонные ли­нии вообще не арендуются? Какую сумму компания выигрывает или про­игрывает в месяц, арендуя одну автоматическую телефонную линию?

b) Следует ли компании арендовать вторую автоматическую телефонную линию? Какую сумму компания выиграет или проиграет в месяц, арен­дуя вторую автоматическую телефонную линию, по сравнению с арен­дой лишь одной линии?

4. Механический цех насчитывает 20 станков, которые обслуживаются тремя механиками. Неполадки в работающих станках возникают случайным об­разом в соответствии с распределением Пуассона. Время устранения непо­ладки на одном станке подчиняется экспоненциальному распределению с математическим ожиданием 6 мин. Анализ рассматриваемой системы об­служивания показывает, что во всем цехе на протяжении восьмичасового рабочего дня возникает в среднем 57,8 неполадок в работе станочного пар­ка, и что к вышедшему из строя станку механик подходит в среднем через 4,5 мин. Пусть интенсивность работы каждого станка составляет 20 единиц продукции в час, каждая из которых приносит прибыль в 2 долл. Далее, пусть зарплата каждого механика равняется 20 долл. в час. Сопоставьте плату за наем механиков с потерями, обусловленными потерей прибыли в случае выхода из строя станков.

5. Необходимым условием того, что величина СОС(с) (определение которой приведено выше) достигает своего минимума при с = с, являются неравенства

Примените этот результат к примеру 17.9.2 и покажите, что в этом случае с = 4.

17.9.2. Модель предпочтительного уровня обслуживания

Жизнеспособность модели обслуживающей системы со стоимостными характе­ристиками зависит от того, насколько хорошо мы можем оценить параметры стои­мости. В общем случае оценить эти параметры довольно сложно, особенно если стоимость связана с ожиданием клиента. В моделях с предпочтительным уровнем обслуживания делается попытка обойти эту проблему, оперируя непосредственно функциональными показателями обслуживающей системы. Идея состоит в опре­делении приемлемого интервала изменения для уровня обслуживания (параметры /и или с) путем поиска разумных пределов для конкурирующих экономических по­казателей, которые характеризуют процесс обслуживания. Эти пределы представ­ляют собой уровни предпочтительного обслуживания, которых стремится достичь лицо, принимающее управленческое решение.

СОС(с* - 1) > СОС(с*) и СОС(с* + 1) > СОС(с*). Покажите, что эти неравенства сводятся к следующим:

Глава 17. Системы массового обслуживания

Проиллюстрируем применение этой процедуры для модели системы обслужи­вания с несколькими сервисами, в которой необходимо определить "приемлемое" количество сервисов с. Для этого рассмотрим два (конкурирующих) экономиче­ских показателя процесса обслуживания.

1. Среднее время ожидания в системе W_t.

2. Процент простоя сервисов X.

Значение W_t можно вычислить, используя программное обеспечение TORA для мо­дели (М/М/с). Процент простоя средств обслуживания можно вычислить следую­щим образом.

Х = — xl0Q = ^C~^'~^Z,^xlQQ=fl-^a-lxl00.

с с { _Сц)

(Доказательство этого соотношения см. в упражнении 17.6.5.12.) Задача сводится к определению такого количества сервисов с", что

W, < а и X < Д

где avi р— уровни предпочтительного обслуживания, определенные лицом, которое принимает решение. Например, можно поставить условие, что а — 3 мин. и /3= 10 %.

Задачу можно решить, построив графики W_tn X как функции количества сер­висов с (рис. 17.11). Отмечая на графиках значения а и Д мы определяем приемле­мый интервал изменения для уровня обслуживания с. Если оба упомянутых выше условия нельзя удовлетворить одновременно, необходимо ослабить один или оба уровня предпочтительности, пока не будет получен приемлемый интервал измене­ния количества сервисов.

^ws

а

Рис. 17.11. Приемлемый интервал изме­нения для уровня обслуживания

Пример 17.9.3

Допустим, что в примере 17.9.2 необходимо определить такое количество служа­щих на складе, чтобы среднее время ожидания инструмента было меньше 5 мин. Одновременно требуется, чтобы процент времени, в течение которого персонал мастерской остается свободным, не превышал 20 %.

Заметим, что и без вычислений очевидным является тот факт, что уровень пред­почтительности в 5 мин. для времени ожидания инструмента (т.е. здесь W_s<b) является недостижимым, так как из данных задачи следует, что среднее время об­

17.9. Модели принятия решений в теории массового обслуживания

служивания равно 6 мин. Приведенная ниже таблица содержит значения 1С,иХ как функций от с и подтверждает это замечание. Действительно при с > 5 имеем W_s = 6 мин. Таблица также показывает, что дальнейшее увеличение числа служа­щих может лишь повысить процент их простоя X.

с
И/s (минуты)	25,6	7,6	6,3	6,1	6,0	6,0	6,0
Х(%)	12,5	41,7	56,3	65,0	70,8	75,0	78,0

В этой ситуации мы фактически ничего не можем сделать, так как задачу нель­зя решить путем увеличения количества служащих на складе. Необходимо ли­бо уменьшить время обслуживания в системе, либо признать, что в реальной ситуации, которой соответствует математическая модель, интенсивность за­просов на инструменты чрезвычайно высока (Я = 17,5 запросов в час). Весьма вероятно, что именно на последний факт должно быть обращено внимание. На­пример, можно провести исследование причины такого высокого спроса на за­мену инструмента. Может ли быть причиной этого неадекватная конструкция самого инструмента? Или же причиной является то, что операторы станков це­ленаправленно стараются подорвать производство, таким образом выражая свое недовольство?

УПРАЖНЕНИЯ 17.9.3

1. Цех использует 10 одинаковых станков. Каждый станок выходит из строя в среднем один раз в 7 часов. Ремонт сломанного станка длится в среднем 4 часа. Как процесс выхода станков из строя, так и процесс ремонта подчиняются распределению Пуассона. Определите следующие показатели.

a) Необходимое число механиков для ремонта станков, при котором среднее количество неработающих станков будет меньше 4.

b) Такое число механиков для ремонта станков, чтобы ожидаемое время за­держки, обусловленное ремонтом станка, было меньше четырех часов.

2. В стоимостной модели системы обслуживания, рассмотренной в подразде­ле 17.9.1, в общем случае трудно оценить стоимостный параметр С₂ (стоимость ожидания). Может быть полезным вычисление стоимости ожида­ния С₂, предполагаемое уровнями предпочтительности обслуживания. В этом случае считаем, что значение C_t известно. Используя модель предпочтитель­ного уровня обслуживания для определения с, можно оценить предполагае­мое значение С₂ с помощью следующего неравенства:

L_s(c)-L_s{c₊\)<^<L_s(c-\)-L_s(c).

(Вывод этой формулы см. в упражнении 17.9.2.5.) Примените эту процедуру для задачи из примера 17.9.2, предполагая, что с = 3 и С₁ = 12 долл.

Глава 17. Системы массового обслуживания

ЛИТЕРАТУРА

1. Hall R. Queueing Methods for Service and Manufacturing, Prentice Hall, Upper Saddle River, N. J., 1991.

2. Lipsky L. Queueing Theory, A Linear Algebraic Approach, Macmillan, New York, 1992.

3. Morse P. Queues, Inventories, and Maintenance, Wiley, New York, 1958.

4. Parzen E. Stochastic Processes, Holden-Day, San Francisco, 1962.

5. Saaty T. Elements of Queueing Theory with Applications, Dover, New York, 1983.

6. Tijms H.C. Stochastic Models — An Algorithmic Approach, Wiley, New York, 1994.

Литература, добавленная при переводе

1. Боровков А. А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. — М.: Наука, 1972.

2. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1965.

3. Кофман А. Методы и модели исследования операций. — М.: Мир, 1966.

4. Мур Дж., Уэдерфорд Л. Экономическое моделирование в Microsoft Excel. — М.: Издательский дом "Вильяме", 2004.

5. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. — М.: Сов. радио, 1965.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ

17.1. ⁵ Банк в своей деятельности использует традиционную линию, где клиен­ты обслуживаются, не выходя из автомашины, и две "автоматические" линии, которые соединены с внутренней частью банка пневматическим контейнером. Банк хотел бы расширить существующие средства обслу­живания, чтобы прибывающий на автомашине клиент смог завершить свое дело в банке в среднем не более чем за 4 минуты. Это ограничение по времени было основано на психологических исследованиях, которые по­казывают, что нетерпение клиентов проявляется на основе движения ми­нутной стрелки часов между двумя метками, что для большинства часов, установленных в банках, соответствует пяти минутам. Для сбора необхо­димой информации группа специалистов по исследованию операций изу­чила действия кассиров, которые работают в банке. После некоторого оз­накомления с работой системы один из членов группы отметил заметное отличие времени, которое тратит клиент в линии обслуживания, и време­ни, когда кассир выполняет необходимые банковские операции. Действи­тельно время, которое автомобиль проводит в системе, состоит из 1) осоз­нания, что впереди стоящий автомобиль уехал, 2) движения к окну кассира, 3) передачи кассиру необходимых указаний, 4) необходимых действий кассира и 5) выхода из системы. На протяжении первой, второй

Задача базируется на работе Foote В. L. "A Queueing Case Study in Drive-In Banking", Interfaces, Vol. 6, No. 4, pp. 31-37, 1976.

Комплексные задачи

и пятой составляющих этого времени кассир является вынужденно сво­бодным. Анализ показал, что на протяжении цикла обслуживания одного клиента кассир занят им лишь 40 % времени этого цикла. На основе этой информации группа сделала вывод о том, что стоимость обслуживания в существующей системе можно снизить.

В чем состояло предложение специалистов по исследованию операций по улучшению обслуживания в банке с использованием линии, где клиенты обслуживаются, не выходя из автомашины? Обсудите все последствия предложения.

17.2. Государственный центр но защите детей работает ежедневно с 9:00 до 21:00. Звонки, сигнализирующие о необходимости вмешательства для защиты де­тей, поступают в центр, как и следовало ожидать, случайным образом. При­веденная ниже таблица содержит количество звонков на протяжении 7 дней, разбитых на интервалы длиной в 1 час.

Время			Количество звонков в день
9:00
10:00
11:00
12:00
13:00
14:00
15:00
16:00
17:00
18:00
19:00
20:00
21:00

Таблица не содержит звонков, потерянных по той причине, что во время звонка линия оказалась занятой. Длительность каждого из полученных звонков является случайной величиной со средним, равным 7 мин., но ино­гда достигает и 12 мин. Данные свидетельствуют о том, что количество звонков в центр возрастает на 15 % в год. Центр планирует определить ко­личество телефонных линий, которые необходимо установить для надле­жащего обслуживания в настоящем и в будущем. В частности, особое вни­мание уделяется уменьшению неблагоприятных результатов, когда звонки не поступают из-за занятости телефонной линии.