Инвестиции в В 3 страница

TORA D:\Woik\TordFilei\ch14ToraGarnesfx14 4 4 Itf

DECISION ANALYSIS USING GAMES

Рис. 14.10. Решение программой TORA игры двух игроков с нулевой суммой из примера 14.4.4

УПРАЖНЕНИЯ 14.4.3

1. На загородном пикнике две команды, по два человека в каждой, играют в прятки. Есть четыре места, где можно спрятаться (А, Б, В и Г), и два члена прячущейся команды могут спрятаться каждый отдельно в любых двух из че­тырех мест. Затем другая команда имеет возможность проверить любые два места. Команда, которая ищет, получает премию, если будут обнаружены оба участника прячущейся команды, если же не обнаружен ни один участник, то она выплачивает премию. Иначе игра заканчивается вничью.

a) Сформулируйте задачу в виде игры двух лиц с нулевой суммой.

b) Определите оптимальные стратегии и цену игры.

2. Университетские команды UA и DU определяют свои стратегии игры в на­циональном чемпионате по баскетболу для колледжей. Оценивая возможно­сти своих "запасных скамеек", каждый тренер разработал по четыре вариан­та замены игроков на протяжении игры. Способность каждой команды выполнять двух-, трехочковые и штрафные броски является основным фак-

Литература

тором, определяющим результат игры. Приведенная ниже таблица содер­жит очки чистого выигрыша команды UA на протяжении одного владения мячом в зависимости от стратегий, планируемых каждой командой.

	DU1	DU2	DU3	DU4
UAi		-2
UA2			-3
UA3	-1		-2
UA4	-1	-2

a) Решите игру методами линейного программирования и определите выиг­рышные стратегии.

b) Исходя из имеющейся информации, какая из двух команд может выиг­рать чемпионат?

c) Пусть за всю игру имеется 60 возможностей владения мячом (30 владений для каждой команды). Предскажите ожидаемое количество очков, с ко­торым будет выиграна игра чемпионата.

3. Армия полковника Блотто сражается с вражеской армией за контроль над двумя стратегически важными позициями. Полковник имеет в своем распо­ряжении два полка, а его противник — три. Каждый из противников может посылать на любую позицию только целое число полков или совсем не посы­лать. Позиция будет захвачена армией, которая атакует большим количест­вом полков. Иначе результат сражения является ничейным.

a) Сформулируйте задачу в виде игры двух лиц с нулевой суммой и решите игру методами линейного программирования.

b) Какая армия выиграет сражение?

4. В игре двух лиц, именуемой двухпальцевой игрой Морра, каждый игрок по­казывает один или два пальца и одновременно отгадывает число пальцев, ко­торые покажет его противник. Игрок, который угадал, выигрывает сумму, равную суммарному числу показанных противниками пальцев. Иначе игра заканчивается вничью. Сформулируйте задачу в виде игры двух лиц с ну­левой суммой и решите игру методами линейного программирования.

5. Покажите, что задача, двойственная к задаче линейного программирования для игрока А, является задачей линейного программирования для игрока В, и что следующие два утверждения не противоречат друг другу.

a) Задача линейного программирования для игрока А записана в форме, приведенной в разделе 14.4.2.

b) Задача линейного программирования для игрока А записана в форме, упомя­нутой в п. 1, в которой все ограничения вида "<" приведены к виду ">".

ЛИТЕРАТУРА

1. Chen S. and Hwang С. Fuzzy Multiple Attribute Decision Making, Springer-Verlag, Berlin, 1992.

2. Clemen R. J. and Reilly T. Making Hard Decisions: An Introduction to Decision Analysis. 2nd ed., Duxbury, Pacific Grove, CA, 1996.

Глава 14. Теория игр и принятия решений

3. Dantzig G. В. Linear Programming and Extension, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1963. (Русский перевод: Данциг Дж. Линейное программирова­ние, его применения и обобщения. — М.: Прогресс, 1966.)

4. Meyerson R. Game Theory: Analysis of Conflict, Harvard University Press, Cam-ridge, Mass., 1991.

5. Saaty T. L. Fundamentals of Decision Making, RWS Publications, Pittsburg, 1994.

Литература, добавленная при переводе

1. Вилкас Э. Й., Майминас Е. 3. Решения: теория, информация, моделирование. — М.: Радио и связь, 1981.

2. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и эконо­мике. — М.: Мир, 1964.

3. Ларичев О. И. Наука и искусство принятия решений. — М.: Наука, 1979.

4. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. — М.: Мир, 1985.

5. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. — М.: Наука, 1978.

6. Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЗАДАЧИ

14.1. ⁵ Руководитель цеха рассматривает три возможных решения относительно существующего фрезерного станка.

1. Модифицировать имеющийся станок, установив на нем автоматическую подачу (АП).

2. Купить новый станок с программным управлением (ПУ).

3. Заменить станок обрабатывающим центром (ОЦ).

Три альтернативы оцениваются на основе двух критериев: денежный и функциональный. Следующая таблица содержит необходимые данные.

Критерий АП ПУ ОЦ Денежный

Начальная стоимость (долл.) 12 000 25 000 120 000

Стоимость обслуживания (долл.) 2 000 4 000 15 000

Стоимость обучения персонала (долл.) 3 000 8 000 20 000 Функциональный

Производительность (изделия/день) 8 14 40

Время наладки (минуты) 30 20 3

Металлические отходы (фунты/день) 440 165 44

Руководитель считает, что денежный критерий в полтора раза важнее функционального. Кроме того, производительность в два раза важнее вре­мени наладки и в три раза важнее, чем количество получаемых металличе-

Этот пример взят из работы Weber S. "A Modified Analytic Hierarchy Process for Auto­mated Manufacturing Decisions", Interfaces, Vol.23, No. 4, 1993, pp. 75-84.

Комплексные задачи

ских отходов. Показатель, связанный со временем наладки, считается в че­тыре раза важнее показателя, связанного с количеством металлических от­ходов. Что же касается денежного критерия, то руководитель считает, что стоимость обслуживания и стоимость обучения персонала одинаково важны, а начальная стоимость в два раза важнее каждого из этих двух показателей.

Проанализируйте описанную ситуацию и дайте соответствующие реко­мендации.

14.2. ⁶ Компания использует каталог товаров для продажи, включающий более 200 тыс. наименований, хранящихся на многих региональных складах. В прошлом компания считала важным иметь точный перечень запасов на каждом складе. Поэтому каждый год проводился переучет — интенсивная и неприятная работа, которая неохотно выполнялась всеми складами. Ком­пания для проверки качества складских операций в регионе сопровождала каждый переучет ревизией, которая охватывала около 100 наименований на каждом складе. Результаты проверки обнаружили, что в среднем лишь 64 % наименований на каждом складе соответствовали действительной ин­вентарной описи, что является неприемлемым. Дабы исправить ситуацию, компания распорядилась чаще проводить переучет дорогих и быстро реали­зуемых товаров. Системному аналитику была поставлена задача разрабо­тать процедуры для реализации этих планов.

Вместо того чтобы напрямую заняться выполнением задания компании, сис­темный аналитик решил установить причину возникшей проблемы. Он пе­решел в своем исследовании от формулировки "Как мы можем увеличить частоту переучетов?" к "Как можно повысить точность переучетов?". Изуче­ние проблемы под таким углом зрения свелось к следующему анализу. Пред­полагая, что доля точно сосчитанных наименований на складе равна р, анали­тик затем предположил следующее. Есть основания считать, что существует 95 % -ная вероятность того, что если изделие было правильно учтено в первый раз, то будет правильно переучтено и при последующем переучете. Для части 1 -р товаров, которая не была точно учтена в первом раунде проверки, доля правильного учета во втором раунде равна 80 %. Используя эту информацию, аналитик с помощью дерева решений построил график безубыточности, кото­рый сравнил точность учета в первом и втором раундах проверки. Конечный ре­зультат сводился к тому, что склады, на которых уровень точности выше порога безубыточности, не требовали переучета. Удивительным результатом предло­женного решения было рьяное усердие со стороны каждого склада сделать пра­вильный учет за первый раз, что привело к повышению точности учета на всех складах.

Как аналитик убедил руководство в жизнеспособности предложенного по­рога безубыточности для повторного переучета?

14.3. ⁷ В авиакомпаниях рабочие часы устанавливаются в соответствии с договора­ми, заключенными с профсоюзными организациями. В частности, макси­мальная продолжительность работы может быть ограничена 16 часами для полетов на Боинге-747 (В-747) и 14 часами — на Боинге-707 (В-707). Если

⁶ Этот пример взят из работы Millet I. "A Novena to Saint Anthony, or How to Find Inven­tory by Not Looking", Interfaces, Vol. 24, No. 2, 1994, pp.69-75.

' Этот пример взят из работы Gaballa A. "Planning Callout Reserves for Aircraft Delays", Interfaces, Vol. 9, No. 2, Part 2,1979, pp.78-86.

Глава 14. Теория игр и принятия решений

эти пределы превышаются в силу неожиданных задержек, экипаж должен быть заменен новым. Авиакомпании содержат резервные экипажи для таких случаев. Средняя годовая стоимость содержания члена резервного экипажа оценивается в 30 ООО долл. Задержка полета на одну ночь, обусловленная от­сутствием резервного экипажа, может стоить 50 ООО долл. Член экипажа на­ходится по вызову непрерывно 12 часов в сутки 4 дня в неделю и может не на­ходиться по вызову три оставшихся дня недели. Самолет В-74 7 может обслуживаться двумя экипажами для самолета В-707.

Следующая таблица содержит вероятности вызова резервных экипажей, вычисленные на основании трехлетнего опыта.

		Вероятность вызова
Категория рейса	Рейс (время вылета)	В-747	В-707
	14:00	0,014	0,072
	13:00	0,000	0,019
	12:30	0,000	0,006
	12:00	0,016	0,006
	11:30	0,003	0,003
	11:00	0,002	0,003

Приведенные данные свидетельствуют, например, что для 14-часового рей­са вероятность вызова равна 0,014 для В-747 и 0,072 — для В-707.

Типичная пиковая часть расписания дня имеет следующий вид.

Время дня Самолет Категория рейса

8:00
9:00
10:00
11:00
15:00
16:00
19:00

Существующая политика относительно резервных экипажей состоит в ис­пользовании двух экипажей (по семь членов каждый) с 5:00 до 11:00, четы­рех — с 11:00 до 17:00 и двух — с 17:00 до 23:00.

Оцените эффективность существующей политики относительно резервных экипажей. В частности, является ли число резервных экипажей очень большим, очень малым или таким, как необходимо?

ГЛАВА 15

ВЕРОЯТНОСТНОЕ ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Вероятностное динамическое программирование (ДП) отличается от детерми­нированного, описанного в главе 10, тем, что состояния и прибыли на каждом эта­пе являются случайными¹. Модели вероятностного ДП возникают, в частности, при рассмотрении стохастических моделей управления запасами и в теории марков­ских процессов принятия решений. Этим двум темам посвящены главы 16 и 19, по­этому в настоящей главе они не рассматриваются. В этой главе описываются неко­торые примеры достаточно общего содержания, призванные показать стохастическую природу ДП.

15.1. АЗАРТНАЯ ИГРА

Одна из разновидностей игры в русскую рулетку состоит во вращении колеса, на котором по его периметру нанесены п последовательных чисел от 1 до п. Вероят­ность того, что колесо в результате одного вращения остановится на цифре i, равна р_г Игрок платит х долларов за возможность осуществить т вращений колеса. Сам же игрок получает сумму, равную удвоенному числу, которое выпало при послед­нем вращении колеса². Поскольку игра повторяется достаточно много раз (каждая до т вращений колеса), требуется разработать оптимальную стратегию для игрока.

Мы сформулируем задачу в виде модели ДП, используя следующие определения.

1. Этап i соответствует i-му вращению колеса, i—1,2, т.

2. Альтернативы на каждом этапе состоят в следующем — либо покрутить колесо еще раз, либо прекратить игру.

3. Состояние системы j на каждом этапе i представляется одним из чисел от 1 до п, которое выпало в результате последнего вращения колеса.

Пусть ffj) — максимум ожидаемой прибыли при условии, что игра находится на этапе (вращении) t и исходом последнего вращения есть число у. Имеем следующее.

¹ Эта глава является продолжением главы 10, посвященной детерминированным моде­лям динамического программирования.

Здесь подразумевается, что игрок может прекратить игру (больше не вращать колесо) после любого г-го вращения колеса (i < m). В этом случае выигрыш определяется результатом последнего вращения колеса, на котором игра остановлена. — Прим. ред.

Глава 15. Вероятностное динамическое программирование

(Ожидаемая прибыль на этапе i при условии, [ что исходом последнего вращения есть j 2 j, если игра заканчивается,

~YjPkfi*\ (*)> ^{если иг}Р^а продолжается.

Рекуррентное уравнение для /,(у) можно записать следующим образом.

2/,

/(./') = max

конец игры:

продолжение игры: ^p_tf,_tt(k), /' = 2,3,...,т,

y;(o)=Zft/,w

Обоснование рекуррентного уравнения сводится к следующему. При первом вращении колеса (£ = 1) состоянием системы является у = 0, ибо игра только нача­лась. Следовательно, /,(0) = р,/₂(1) + р₂/₂(2) +... + pj₂(n). После выполнения послед­него вращения колеса (£ = т) остается лишь один выбор — закончить игру незави­симо от исхода у m-го вращения. Следовательно, f_m,,(;) = 2у.

Рекуррентные вычисления начинаются с /_{т + 1}, заканчиваются при /ДО) и сводят­ся таким образом к т + 1 вычислительному этапу. Так как /,(0) представляет собой ожидаемую прибыль от всех т вращений колеса, а игра обходится игроку в х дол­ларов, получаем следующее.

Ожидаемая прибыль = /,(0) - х.

Пример 15.1.1

Предположим, что по периметру колеса русской рулетки расставлены числа от 1 до 5. Вероятности /л, остановки колеса на числе / соответственно равны следующему: _Pl = 0,3, р₂ = 0,25, р₃ = 0,2, р₄ = 0,15, р₅ = 0,1. Игрок платит 5 долл. за возможность сделать не бо­лее четырех вращений колеса. Определим оптимальную стратегию игрока для каж­дого из четырех вращений и найдем соответствующий ожидаемый выигрыш.

Этап 5.

/*(/) = 2/.

Исход 4-го вращения, j	f5{j)	Оптимальное решение Решение
		Закончить
		Закончить
		Закончить
		Закончить
		Закончить

Этап 4.

ftf) = max {2j, _Plf₅(1) + p/₅(2) + p/₃(3) + />/₅(4) + рШ) = = max{2/, 0,3x2+ 0,25x4 +0,2x6 +0,15x8+ 0,1 x 10} = = max{2/, 5}.

15.1. Азартная игра

			Ожидаемая прибыль	Оптимальное решение
Исход 3-го вращения, j	Закончить	Вращать	т	Решение
						Вращать
						Вращать
						Закончить
						Закончить
						Закончить
Этап 3.
/,(/) =	max{2/', p/4(l) +p/4(2) + p/4(3) +p/4(4) +p/4(5)} =
=	max{2/, 0,3 х 5 + 0,25 х 5 + 0,2 х 6 + 0,15 х 8	+ 0,1 х 10} =
-	max{2/, 6,15}.
			Ожидаемая прибыль	Оптимальное решение
Исход 2-го вращения,/'	Закончить	Вращать	т	Решение
				6,15	6,15	Вращать
				6,15	6,15	Вращать
				6,15	6,15	Вращать
				6,15	8,00	Закончить
				6,15	10,00	Закончить
Этап 2.
	max{2/',p/3(l)+p/3(2)-	^/з(3)+р/3(4) +	Л/э(5)} =
=	max	.{2/, 0,3x6,	15 + 0,25x6,15+0,2x6,15-+	0,15 х 8 + 0,1 х 10}
=	max	;{2/, 6,8125}.
			Ожидаемая прибыль	Оптимальное решение
Исход 1-го вращения,/'	Закончить	Вращать	ып	Решение
				6,8125	6,8125	Вращать
				6,8125	6,8125	Вращать
				6,8125	6,8125	Вращать
				6,8125	8,0000	Закончить
				6,8125	10,0000	Закончить

Этап 1.

/,(0) =р№)+Рг№ +М(3) +Р/₂(4) +р/₂(5) =

= 0,3 х 6,8125 + 0,25 х 6,8125 + 0,2 х 6,8125 + 0,15 х 8 + 0,1 х 10 = 7,31.

В начале игры единственным выбором является вращение колеса.

Из предыдущих таблиц следует, что оптимальным решением будет следующая по­следовательность действий.

598 Глава 15. Вероятностное динамическое программирование

^НомеР Оптимальная стратегия

вращения

1 Начало игры; вращать

2 Продолжить игру, если исходом первого вращения есть 1, 2 или 3; иначе закончить игру

3 Продолжить игру, если исходом второго вращения есть 1, 2 или 3; иначе закончить игру

4 Продолжить игру, если исходом третьего вращения есть 1 или 2; иначе закончить игру

Ожидаемая прибыль от игры составляет 7,31 - 5 = 2,31 долл.

УПРАЖНЕНИЯ 15.1

1. Пусть в задаче из примера 15.1.1 по периметру колеса расставлены числа от 1 до 8, и вероятности остановки колеса на каждом из этих чисел одинаковы. Предполагая, что каждая игра состоит не более чем из пяти вращений коле­са, определите оптимальную стратегию игры.

2. Я хочу продать свой подержанный автомобиль тому, кто предложит наивыс­шую цену. Изучая автомобильный рынок, я пришел к выводу, что с равными ве­роятностями мне за автомобиль могут предложить низкую (около 1050 долл.), среднюю (около 1900 долл.) либо высокую цену (около 2500 долл.). Я решил по­мещать объявление о продаже автомобиля на протяжении не более трех дней подряд. В конце каждого дня мне следует решить, принять ли наилучшее пред­ложение, поступившее в течение этого дня. Какой должна быть моя оптималь­ная стратегия относительно принятия предложенной цены за автомобиль?

15.2. ЗАДАЧА ИНВЕСТИРОВАНИЯ

Некто планирует инвестировать С тыс. долл. через фондовую биржу в течение последующих п лет. Инвестиционный план состоит в покупке акций в начале года и продаже их в конце этого же года. Накопленные деньги затем могут быть снова инвестированы (все или их часть) в начале следующего года. Степень риска инве­стиции представлена тем, что прибыль имеет вероятностный характер. Изучение рынка свидетельствует о том, что прибыль от инвестиции зависит от т условий рынка (благоприятных или неблагоприятных). При этом условие i приводит к при­были г, с вероятностьюp_t, /=1,2, т. Как следует инвестировать С тыс. долл. для наибольшего накопления к концу п лет?

Обозначим

х, — сумма денежных средств, доступных для инвестирования в начале i-го года (ж,-С),

y_t — сумма реальной инвестиции в начале i-го года (y_t < x_t). Элементы модели ДП можно описать следующим образом.

1. Этап i представляет i-Pi год инвестирования.

2. Альтернативами на этапе i являются величины y_t.

3. Состояние системы на этапе i описывается величиной

Пусть f_t(x) — максимальная ожидаемая сумма поступления денежных средств за годы от i до п при условии, что в начале i-го года имеется сумма x_t. Для А-го усло­вия рынка имеем следующее.

х₁₊, = (1 + г J у, + fx, - yj = r_Ky, 4-х,, к = 1,2.....т.

15.2. Задача инвестирования 599

Поскольку вероятность fe-ro условия рынка равна р_к, рекуррентное уравнение ди­намического программирования имеет следующий вид:

f,{x,)= max \^pj^{x,+r_ky,)^ i = \, 2,...,n, где/„ ₊1(*„ _{+ 1}) = x_n^j, так как после п-го года инвестиции нет. Отсюда следует, что

(*"^⁼ о™* ^Рк (*" ^{+ г}"^Уп)] ^{= х}"⁺»^тЛ^х, Ь'„| •

Введя обозначения 7 =, получим

[О, если F < О,

[х„, если г > 0.

[х_п, если г < 0,

(1 + г)х, если г > 0.

Пример 15.2.1

Пусть в предыдущей модели инвестирования объем инвестиции составляет С= 10 ООО долл. на 4-летий период. Существует 40%-ная вероятность того, что вы удвоите деньги, 20%-ная— останетесь при своих деньгах и 40%-ная — потеряете весь объем инвестиции. Необходимо разработать оптимальную стратегию инвестирования.

Используя принятые в модели обозначения, получаем следующее.

С=10 000,«= 4,/и = 3,

_Pl = 0,4, р₂ = 0,2,^3 = 0,4,

/-, = 2, г₂ = 0, г₃=-\.

Этап 4.

7 = 0,5x0,1 + 0,2x0 + 0,Зх(-1) = 0,2, /₄(*₄) = (1+ г)х₄=1,2*₄.

Отсюда получаем

		Оптимальное решение
Состояние			У''а
х4	1,2 х4		х4

Этап 3.

А(*з) = max {pj_t (дг, + /;у,) + р₂/₄ (дг, + г, у,) + />,/„ (дг, + г,у,)} =

= _omax {0,5xl,2(x₃ +y,) + 0,2xl,2(x,+0y,) + 0,3xl,2[x, +(-1)у,]} = = max {l,2x,+0,246 у,} = 1,44*,.

Глава 15. Вероятностное динамическое программирование

Поэтому имеем

Оптимальное решение
Состояние	т)	Уз
Хз	1,44 х3	х3
Этап 2. Л (*2) = таХ { А.Л (*2 + 1^2) + Р2А (*2 + Г2У2) = max (0,5xl,44(jf, + v2) + 0,2xl,44(; = max {1,44*,+0,288j>,} = 1,728*,.	\ + Р)Мх2+г1Уг)} = г2+0Л) + 0,Зх1,44[*2+(-1)Л]}	=
Отсюда следует
Оптимальное решение
Состояние		у\
Х2	1,728 х2	х2

Этап 1.

/(*.)= max {д/₂ (х, + r_ty,) + pj₂ (х, + r₂y,) + pj₂ (дг, +)} =

= max |о,5х l,728(x, + jv,) + 0,2 х 1,728(х, + 0у) + 0,3х 1,728[х, + (-\)у,]} = = max {1,728jc, + 0,3456v.} = 2,0736л:,.

(X v, S т. ¹ '

Имеем

	Оптимальное решение
Состояние	f.(*i)
Х1	2,0736 Xi	Х1

Оптимальную инвестиционную политику можно сформулировать следующим об­разом. Так как у' -x_j для /= 1, 2, 3, 4, то оптимальным решением является инвести­рование всех наличных денежных средств в начале каждого года. Накопленные де­нежные средства к концу четырех лет составят 2,0736*1 = 2,0736 х 10000 = = 20 736 долл.

Методом математической индукции нетрудно показать, что задача при каждом со­стоянии i (i = 1,2,п) имеет следующее решение:

\х, если F< 0,

[(1 + г), если г > 0.

(0, если 7 < 0,

У'⁼\ - п

I x_t, если г > 0.

15.2. Задача инвестирования

УПРАЖНЕНИЯ 15.2

1. Определите оптимальную инвестиционную политику в примере 15.2.1, предположив, что вероятности р_к и прибыли г_к для следующих 4 лет прини­мают такие значения.

Год _П_h_Гъ_pj_pi_рз_

1 2 1 0,5 0,1 0,4 0,5

2 10 -1 0,4 0,4 0,2

3 4 -11 0,2 0.4 0,4

4 0,8 0,4 0,2 0,6 0,2 0.2

2. Камера объемом 10 м предназначена для хранения изделий трех наименова­ний. Одно изделие наименований 1, 2, 3 занимает соответственно 2, 1 и 3 м³. Вероятности спроса на эти изделия приведены в следующей таблице.

Вероятность спроса

Количество единиц Наименование 1 Наименование 2 Наименование 3

1 0.5 0,3 0,3

2 0,5 0,4 0,2

3 0,0 0,2 0.5

4 0.0 0,1 0,0

Стоимость хранения единицы изделия наименований 1, 2, 3 равна 8, 10 и 15 долл. соответственно. Сколько единиц изделий каждого наименования следует хранить в камере?

3. Фирма с высокотехнологичным производством начала выпуск самых совре­менных суперкомпьютеров в расчете на трехлетний период. Годовой спрос D на новый суперкомпьютер описывается распределением

p(D = 1) = 0,5, p(D =2) = 0,3, p(D = 3) = 0,2.

Производственная мощность завода составляет три суперкомпьютера в год стоимостью 5 млн. долл. каждый. Количество произведенных за год су­перкомпьютеров может не совпадать точно с объемом спроса. На нереали­зованный к концу года суперкомпьютер требуются затраты в 1 млн. долл., связанные с его хранением и содержанием в исправности. Фирма терпит убытки в 2 млн. долл., если поставка суперкомпьютера откладывается на один год. Фирма не будет принимать новых заказов позже четвертого го­да, но будет продолжать выпуск суперкомпьютеров на протяжении пято­го года, чтобы выполнить все заказы, оказавшиеся невыполненными к концу четвертого года. Определите оптимальные годичные объемы производства суперкомпьютеров.