Авторегрессия первого порядка. Тест Дарбина-Уотсона

Как правило, если автокорреляция присутствует, то наибольшее влияние на последующее наблюдение оказывает результат предыдущего наблюдения. Наличие автокорреляции между соседними членами позволяет определить тест Дарбина-Уотсона, который основан на простой идее: если корреляция ошибок регрессии не равна нулю, то она присутствует и в остатках регрессии

, получающихся в результате применения обычного метода наименьших квадратов. В тесте Дарбина-Уотсона для оценки корреляции используется статистика вида

.

Несложные вычисления позволяют проверить, что статистика Дарбина-Уотсона связана с выборочным коэффициентом корреляции следующим образом: . В случае отсутствия автокорреляции выборочный коэффициент r окажется не сильно отличающимся от нуля, а значение статистики d будет близко к двум.

Общая схема критерия Дарбина-Уотсона следующая:

1. По построенному эмпирическому уравнению регрессии

определяются значения отклонений для каждого наблюдения .

2. По формуле рассчитывается статистика Дарбина-Уотсона.

3. По таблице критических точек Дарбина-Уотсона определяются два числа и , зависящие только от числа наблюдений, числа регрессоров и уровня значимости. Выводы осуществляются по правилу:

– существует положительная автокорреляция,

– вывод о наличии автокорреляции не определен,

– автокорреляция отсутствует,

– вывод о наличии автокорреляции не определен,

– существует отрицательная автокорреляция.

Изобразим результат Дарбина-Уотсона графически:

Отметим, что при использовании критерия Дарбина-Уотсона необходимо учитывать следующие ограничения.

1. Критерий d применяется лишь для тех моделей, которые содержат свободный член.

2. Предполагается, что случайные отклонения определяются по итерационной схеме: , называемой авторегрессионной схемой первого порядка . Здесь - случайный член.

3. Статистические данные должны иметь одинаковую периодичность (т.е. не должно быть пропусков в наблюдениях).

4. Критерий Дарбина-Уотсона не применим для регрессионных моделей, содержащих в составе объясняющих переменных зависимую переменную с временным лагом в один период, т.е. для так называемых авторегрессионных моделей вида:

.