Теоретические сведения. Пусть и - произвольное иррациональное число

Пусть и - произвольное иррациональное число. Рассмотрим последовательность десятичных приближений числа . Эта последовательность имеет предел .

Можно показать, что последовательность также имеет предел. Этот предел обозначают и называют степенью числа с показателем .

При любом и любом степень является положительным действительным числом: при .

При таком определении степени с действительным показателем сохраняются все известные свойства степени с рациональным показателем.

Для любого и любого число больше 1.

Теорема. Пусть и . Тогда .

По условию . Поэтому, . Умножив обе части этого равенства на положительное число , получим .

Отсюда по свойству умножения степеней получаем, , т.е.

Следствие 1. Пусть и . Тогда .

Так как , то . Поэтому из теоремы следует, что при

.

По свойству деления степеней . Следовательно, , откуда .

Следствие 2. Пусть . Тогда .

Предположим, что равенство не выполняется. Пусть, например, . Тогда при по теореме должно быть , а при по следствию 1 должно быть , что противоречит условию .