Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Чтобы устранить двузначность корня k- й степени из числа а, вводится понятие арифметического корня. Арифметическим корнем k-й степени из числа а () называется неотрицательное число b, k- я степень которого равна а, где - натуральное число.
Преобразования арифметических корней
1. Корень k- й степени из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей: , где , (правило извлечения корня из произведения).
2. Если , , то (правило извлечения корня из дроби).
3. Если , , , то (правило извлечения корня из корня).
4. Если , то (правило возведения корня в степень).
5. Если , то , где , , т.е. показатель корня и показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же число.
6. Если , то , т. е. большему положительному подкоренному выражению соответствует и большее значение корня.
Все указанные выше формулы часто применяются в обратном порядке (т. е. справа налево).
7. Правило вынесения множителя из-под знака корня. При , .
8. Применение тождеств сокращенного умножения к действиям с арифметическими корнями:
1) ;
2) ;
3) .
Множитель, стоящий перед корнем, называется его коэффициентом.
Корни (радикалы) называются подобными, если они имеют одинаковые показатели корней и одинаковые подкоренные выражения, а отличаются только коэффициентом. Чтобы судить о том, подобны данные корни (радикалы) или нет, нужно привести их к простейшей форме.
Пример 1. Найти значение выражения: .
Решение. По правилу извлечения корня из дроби имеем:
Пример 2. Упростить при , 1) ; 2) .
Решение. При извлечении корня из корня показатели корней перемножаются, а подкоренное выражение остается без изменения.
1) .
Если перед корнем, находящимся под корнем, имеется коэффициент, то прежде чем выполнить операцию извлечения корня, вводят этот коэффициент под знак радикала, перед которым он стоит.
2) .
Пример 3. Возвести в степень: 1) ; 2) .
Решение. При возведении корня в степень показатель корня остается без изменения, а показатели подкоренного выражения умножаются на показатель степени.
1) (так как определен, то );
2) Выражение в скобках, представляющее сумму двух различных радикалов, возведем в куб и упростим:
.
Поскольку , имеем:
.
Пример 4. Исключить иррациональность в знаменателе: 1) ; 2) .
Решение. Для исключения иррациональности в знаменателе дроби нужно подыскать простейшее из выражений, которое в произведении со знаменателем дает рациональное выражение, и умножить на подысканный множитель числитель и знаменатель данной дроби.
В более сложных случаях уничтожают иррациональность не сразу, а в несколько приемов.
1) В выражении должно быть и . Умножая числитель и знаменатель дроби на , получим:
.
2) Приведем дроби к общему знаменателю:
. Решая данный пример, мы должны иметь в виду, что каждая дробь имеет смысл, т.е. знаменатель каждой дроби отличен от нуля. Кроме того, .
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 526 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!