Теоретические сведения. Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, например, 0,131331333125

Иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, например, 0,131331333125.... Известные в математике число , число (основание натуральных логариф­мов) также являются числами иррациональными.

Другой пример, приводящий к понятию иррационального числа, дает следующая теорема: «Не существует рационального числа, квадрат которого равен двум». Иными словами, решение уравнения невозможно на множестве рациональных чисел. Корнями такого уравнения являются иррациональные числа .

Любое рациональное число вида , где , может быть представлено в виде конечной или бесконечной периоди­ческой десятичной дроби.

Корнем k -й степени, где и , из действитель­ного числа а называется действительное число х, k -я степень которого равна а.

Корень k -й степени из числа а обозначается символом . Согласно определению .

Нахождение корня k -й степени из числа а называется извлечением корня. Число k называют показателем корня, число а — подкоренным выражением.

Заметим, что , где и , не существует. На­пример, выражения , не имеют смысла. Корень нечет­ной степени извлекается и из отрицательного числа. Например , так как .

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь, т.е. дробь вида или , где - целое неотрицательное число, а каждая из букв - это одна из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если , и противоположное число -а, если . Модуль а обозначается . Итак,

Геометрически означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число а, до начала отсчета.

Модуль нуля равен нулю.

Если , то на координатной прямой существуют две точки а и - а, равноудаленные от нуля (рис. 1), модули которых равны.

Рис. 1 Координатная прямая

Пример1. Записать выражение без знака модуля:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1) Здесь под имеется в виду . По определению модуля имеем:

или .

2) Здесь под имеется в виду . По определению модуля имеем:

или 3 .

3) Здесь под имеется в виду . По определению модуля имеем:

.

4) Здесь под имеется в виду , выражение от модуля не зависит.

Используем определение для раскрытия модуля:

,

или .

Пример 2. При каких значениях х данное выражение имеет смысл:

1) ; 2) ; 3) .

Решение. 1) Из определения арифметического квадратно­го корня следует, что . Умножим обе части этого нера­венства на -1 и получим .

2) На основании определения арифметического квадратного корня имеем , или .

3) для всех , значит, выражение имеет смысл при любом значении х.

Пример 3. При каких значениях х справедливо равенство ?

Решение. Так как , то исходное равенство примет вид . А это равенство справедливо только при , т. е. при .

Пример 4. Упростить выражение:

1) ; 2) .

Решение. 1) Обратим внимание, что . Поэтому так как .

2) Выражение представим так: . Тогда .

Теперь выражение примет вид . Упростим его:

.