Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал

На практике часто оказывается необходимым знать вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в некоторых пределах, например, от a до b. Искомая вероятность для дискретной случайной величины Х определяется по формуле

,

при этом условились левую границу a включать в участок , а правую β — не включать.

Для непрерывной случайной величины Х формула примет вид:

,

так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю: .

Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х на интервал (a,b) определяется также выражением:

.

Эта вероятность численно равна заштрихованной площади на рис. 2.4.

Выразим функцию распределения через плотность . Функция распределения определяется выражением, а, учитывая, получаем формулу для вычисления функции распределения непрерывной случайной величины

,

где х в верхнем пределе интегрирования представляет собой конкретное значение аргумента.

Задача 2.2. В условиях задачи 2.1 найти вероятность того, что число попаданий в мишень будет находиться в пределах от 1 до 3 (т.е. будет равно или 1, или 2).

Решение. На основании имеем

.

Действительно,

.

Задача 2.3. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти плотность , а также вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале .

Решение:

1.

2. Вероятность попадания случайной величины Х в интервал определяем по формуле. Принимая и , находим

или по формуле

.