Понятие о центральной предельной теореме

Теоремы, устанавливающие условия, при которых возникает нормальный закон, как предельный закон, известны в теории вероятностей под названием "центральной предельной теоремы ", или теоремы А.М. Ляпунова.

Теорема может быть сформулирована так: если некоторая случайная величина есть сумма достаточно большого числа других случайных независимых величин, отклоняющихся от своих математических ожиданий на малые величины по сравнению с отклонением суммарной величины, то закон распределения этой суммарной случайной величины будет близок к нормальному.

Эта теорема имеет большое значение для теории ошибок измерений.

Можно полагать, что ошибки измерений D (где ) складываются из большого числа элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных, и влияние элементарных ошибок на результаты измерений мало по сравнению с влиянием суммарной ошибки D.

На основании теоремы Ляпунова закон такой суммарной случайной величины (ошибки D) стремится к нормальному распределению.

3.3 ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ НОРМАЛЬНО РАСПРЕДЕЛЁННОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ НА ЗАДАННЫЙ ИНТЕРВАЛ

Если от случайной величины Х перейти к её нормированному значению , для которой и , то в этом случае плотность распределения (2.19) примет вид:

,

а функция распределения будет определяться формулой

,

где .

Заштрихованная площадь на рис. 3.2 под кривой распределения численно равна .

Вероятность попадания случайной величины Х на интервал , как известно, определяется по формуле.

Переходя к нормированным значениям границ интервала и , получим

.

Значения можно найти по таблицам по аргументу t.

Рис. 3.2 — Функция распределения