Занятие 10. Изопериметрическая задача

Определение. Изоперимтерической задачей классического вариационного исчисления называется следующая экстремальная задача в пространстве :

(з)

, (1)

. (2)

Здесь - заданные числа, отрезок фиксирован и конечен, . Ограничения (1) называются изопериметрическими. Функции , удовлетворяющие условиям (1), (2), называются допустимыми.

Определение. Говорят, что допустимая функция доставляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче (з), пишут: , если такое, что для любой допустимой функции , удовлетворяющей условию , выполнено неравенство

. ▲

Определение. Функция называется лагранжианом задачи, а числа - множителями Лагранжа. ▲

Теорема. Пусть функция доставляет слабый локальный экстремум в поставленной задаче (з) , а функции непрерывны как функции трех переменных в некоторой окрестности множества . Тогда существует ненулевой вектор множителей Лагранжа такой, что для функции Лагранжа задачи выполнено условие и справедливо уравнение Эйлера:

. ■

Рассмотрим примеры решения изопериметрических задач.