 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Занятие 11. Задача с подвижными концами
|
|
Задачей с подвижными концами называется следующая экстремальная задача в пространстве 
:
(з)
. (1)
Здесь 
- заданный конечный отрезок, 
. Частным случаем является задача, в которой один из концов или даже оба закреплены.
Определение. Элемент 
называется допустимым, если 
, и выполнены условия (1) на концах. ▲
Определение. Говорят, что допустимый элемент 
доставляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче (з), если 
такое, что для любого допустимого элемента 
, удовлетворяющего условиям 
, 
, выполнено неравенство
. ▲
Теорема. Пусть 
, функции 
непрерывны в некоторой окрестности множества 
, а функции 
непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки 
. Тогда существует ненулевой вектор множителей Лагранжа 
такой, что для функции Лагранжа задачи
выполнены условия:
а) стационарности по 
- уравнение Эйлера для интегранта 
;
б) трансверсальности по для терминанта
;
в) стационарности по подвижным концам (выписывается только для подвижных концов отрезка интегрирования)
,
. ■
Рассмотрим примеры решения задач с подвижными концами.
Пример 1. Решить задачу с подвижными концами:
.
Решение: Составим функцию Лагранжа задачи
.
Выпишем необходимые условия локального экстремума:
а) уравнение Эйлера для интегранта 
;
б) условия трансверсальности для терминанта 
,
;
в) условие стационарности функции Лагранжа по 
.
Если 
, то из б) следует, что 
, т.е. вектор множителей Лагранжа обращается в ноль. Поэтому 
. Положим 
. Тогда
.
Найдем неизвестные величины 
:
;
;
;
.
Решая полученную систему уравнений, находим с учетом условия 
:
.
Таким образом, в задаче имеется единственный допустимый экстремальный элемент 
, где 
.
Покажем, что не доставляет в поставленной задаче локального экстремума. Рассмотрим допустимый элемент 
. Тогда
Поскольку под знаком интеграла стоит неотрицательная функция, то 
при 
и 
при 
. Следовательно, 
.
Покажем, что 
.
Для допустимой последовательности элементов 
имеем:
при 
.
Возьмем другую допустимую последовательность элементов 
. Тогда
при .
Ответ: 
; . ●
Пример 2. Решить задачу с подвижными концами:
.
Решение: Составим функцию Лагранжа задачи
.
Выпишем необходимые условия локального экстремума:
а) уравнение Эйлера для интегранта 
;
б) условия трансверсальности для терминанта
,
;
в) условие стационарности функции Лагранжа по
.
Если , то из б) следует, что 
, т.е. вектор множителей Лагранжа обращается в ноль. Поэтому . Положим . Тогда
.
Найдем неизвестные величины 
:
;
;
;
;
.
Решая полученную систему уравнений, находим с учетом условия :
.
Таким образом, в задаче имеется единственный допустимый экстремальный элемент , где 
.
Проведем исследование полученного решения. Рассмотрим допустимый элемент 
, где 
. Из ограничений задачи получим условия, которым должны удовлетворять 
и 
:
;
.
Рассмотрим разность 
:
.
Так как для любого допустимого элемента 
разность неотрицательна, то элемент 
доставляет в задаче абсолютный минимум, 
.
Покажем, что 
. Действительно, для допустимой последовательности элементов 
, где
,
получим:
при .
Ответ: 
, , . ●
Пример 3. Решить задачу с подвижными концами:
.
Решение: Составим функцию Лагранжа задачи
.
Выпишем необходимые условия локального экстремума:
а) уравнение Эйлера для интегранта
;
б) условия трансверсальности для терминанта
,
;
в) условие стационарности функции Лагранжа по
.
Если , то из б) следует, что , т.е. вектор множителей Лагранжа обращается в ноль. Поэтому . Положим . Тогда
.
Найдем неизвестные величины :
;
;
;
;
Решая полученную систему уравнений, находим с учетом условия :
.
Следовательно, 
.
Исследуем полученное решение. Рассмотрим разность , где 
- допустимый элемент, удовлетворяющий ограничениям задачи:
.
Согласно неравенству Коши-Буняковского
.
С учетом последнего неравенства
.
Таким образом, для любого допустимого элемента разность неотрицательна. Следовательно, найденный экстремальный элемент доставляет абсолютный минимум в рассматриваемой задаче.
Покажем, что . Для этого рассмотрим допустимую последовательность элементов 
, где 
. Тогда
при .
Ответ: 
, .●
Пример 4. Решить задачу с подвижными концами:
.
Решение: Составим функцию Лагранжа задачи
.
Выпишем необходимые условия локального экстремума:
а) уравнение Эйлера для интегранта
;
б) условия трансверсальности для терминанта
,
;
в) условие стационарности функции Лагранжа по
.
Если , то из б) следует, что , т.е. вектор множителей Лагранжа обращается в ноль. Поэтому . Положим . Тогда
.
Найдем неизвестные величины :
;
;
;
;
.
Решая полученную систему уравнений, находим с учетом условия :
.
Следовательно, 
.
Проведем исследование полученного решения. Рассмотрим допустимый элемент , где 
. Из ограничений задачи получим условия, которым должны удовлетворять и :
;
.
Рассмотрим разность :
.
Для допустимого элемента , где 
, сходящегося к 
при 
, получим:
.
Откуда следует, что разность положительна при 
и отрицательна при 
.
Таким образом, в окрестности найденного экстремального элемента имеются допустимые элементы такие, что разность может быть как положительной, так и отрицательной. Следовательно, 
.
Для последовательности элементов , где 
имеем:
при .
Рассмотрим последовательность элементов 
, где 
Получим, что 
при .
Ответ: 
. ●
Пример 5. Найти допустимые экстремали в задаче с подвижными концами:
.
Решение: Составим функцию Лагранжа задачи
.
Выпишем необходимые условия локального экстремума:
а) уравнение Эйлера для интегранта 
;
б) условия трансверсальности для терминанта
,
;
в) условие стационарности функции Лагранжа по
.
Если , то из б) следует, что , т.е. вектор множителей Лагранжа обращается в ноль. Поэтому . Положим . Тогда
.
Найдем неизвестные величины :
;
; (2)
; (3)
. (4)
Из равенств (2) и (3) выразим 
через :
.
Подставим полученные выражения в равенство (4):
,
Откуда следует, либо 
, либо
. (5)
Получаем два экстремальных элемента: 
и 
, где 
определяется однозначно из равенства (5). Заметим, что 
.
Ответ: и 
,
где определяется однозначно из равенства 
. ●
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 1336 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
