Занятие 9. Задача Больца

Определение. Задачей Больца называется следующая экстремальная задача без ограничений в пространстве :

(з)

Здесь - функция трех переменных, называемая интегрантом, - функция двух переменных, называемая терминантом,отрезок фиксирован и конечен, . Функционал называется функционалом Больца. ▲

Определение. Функции называются допустимыми в задаче.

Говорят, что допустимая функция доставляет слабый локальный минимум (максимум) в задаче (з), пишут: , если такое, что для любой допустимой функции , удовлетворяющей условию , выполнено неравенство . ▲

Теорема. Пусть функция доставляет слабый локальный экстремум в поставленной задаче (з) , функции непрерывны как функции трех переменных в некоторой окрестности множества , а функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки .

Тогда и выполнены условия:

а) уравнение Эйлера

;

б) условия трансверсальности

.

Здесь использованы следующие обозначения:

,

Доказательство: Возьмем произвольную, но фиксированную функцию . Рассмотрим функцию одной вещественной переменной

.

Функция является допустимой для любого . Так как , то функция имеет экстремум в точке . В силу условий гладкости функция дифференцируема в точке и по теореме Ферма .

Продифференцируем функцию :

;

(1)

.

Так как равенство (1) справедливо для любой функции , то оно остается справедливым и для любой функции с нулевыми граничными условиями. Поэтому

.

Согласно лемме Дюбуа-Реймона (см. предыдущее занятие) и функция удовлетворяет уравнению Эйлера:

.

Осталось вывести условия трансверсальности. Проинтегрируем по частям второе слагаемое в равенстве (1):

. (2)

Подставим (2) в (1):

(3)

В силу уравнения Эйлера выражение в квадратных скобках, стоящее под знаком интеграла в равенстве (3), тождественно равно нулю. Поэтому получаем следующее равенство:

. (4)

Положим . Тогда из (4) получим: .

Положим . Тогда из (4) получим: .

Теорема полностью доказана. ■

Пример 1. .

Решение: Интегрант задачи равен , терминант задачи имеет вид . Выпишем необходимые условия локального экстремума:

а) уравнение Эйлера

;

б) условия трансверсальности

,

.

Проинтегрируем уравнение Эйлера:

.

Постоянные найдем из условий трансверсальности:

,

.

Откуда получаем . Единственная допустимая экстремаль задачи имеет вид: .

Покажем, что доставляет абсолютный минимум в задаче, т.е. покажем, что для любой допустимой функции выполнено неравенство . Представим функцию в виде: , где . Рассмотрим разность :

.

Учитывая уравнение Эйлера и условия трансверсальности, получим:

.

Откуда следует, что найденная экстремаль доставляет в задаче абсолютный минимум.

Ответ: . ●