Пример 3. Решение: Лагранжиан задачи имеет вид:

.

Решение: Лагранжиан задачи имеет вид:

.

Уравнение Эйлера:

.

Если , то из уравнения Эйлера получим , т.е. обращается в ноль вектор множителей Лагранжа. Следовательно, . Положим . Тогда уравнение Эйлера примет вид:

. (5)

Корни характеристического уравнения для соответствующего однородного дифференциального уравнения равны . Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид: . Частное решение уравнения (5) следует искать в виде: . Подставляя эту функцию в уравнение (5), получим . Тогда

.

Неизвестные постоянные найдем из граничных условий и изопериметрического условия:

,

,

.

Откуда получаем: .

Таким образом, в задаче имеется единственная допустимая экстремаль .

Проведем исследование полученного решения. Рассмотрим произвольную допустимую функцию . Из ограничений задачи следует, что функция должна удовлетворять условиям:

.

Рассмотрим разность

.

Так как для любой допустимой функции выполнено неравенство , то найденная экстремаль доставляет в задаче абсолютный минимум.

Ответ: . ●