Пример 5. Решение: Выпишем интегрант задачи и терминант задачи:

.

Решение: Выпишем интегрант задачи и терминант задачи:

, .

Необходимые условия локального экстремума:

а) уравнение Эйлера

;

б) условия трансверсальности

,

.

Так как интегрант не зависит явно от , то уравнение Эйлера имеет интеграл энергии:

.

Тогда

.

Из условий трансверсальности найдем постоянные :

;

.

Откуда получаем следующие значения для : .

Единственная допустимая экстремаль имеет вид: .

Проведем исследование полученного решения. Для этого возьмем произвольную допустимую функцию и рассмотрим разность

.

С учетом уравнения Эйлера проинтегрируем по частям первое слагаемое, стоящее под знаком интеграла и учтем условия трансверсальности:

.

Тогда

.

Так как для любой допустимой функции выполнено неравенство , то найденная экстремаль доставляет в задаче абсолютный минимум.

Ответ: . ●