Пример 2. Решение: Интегрант и терминант задачи имеют вид:

.

Решение: Интегрант и терминант задачи имеют вид:

.

Выпишем необходимые условия локального экстремума:

а) уравнение Эйлера

;

б) условия трансверсальности

,

.

Найдем общее решение дифференциального уравнения Эйлера:

.

Постоянные найдем из условий трансверсальности:

;

.

Получаем: .

Проведем исследование полученного решения . Для этого возьмем произвольную допустимую функцию и рассмотрим разность:

.

Рассмотрим последовательность функций . Для любого значения функции являются допустимыми и, кроме того, при . Тогда

.

Для другой допустимой последовательности функций , сходящейся к по норме пространства , получим:

.

Следовательно, единственная допустимая экстремаль не доставляет локального экстремума в поставленной задаче.

Покажем, что . Действительно, для последовательности функций имеем:

при .

Для последовательности функций

при .

Ответ: . ●