Пример 3. Решение: Выпишем интегрант задачи и терминант задачи:

.

Решение: Выпишем интегрант задачи и терминант задачи:

, .

Необходимые условия локального экстремума:

а) уравнение Эйлера

;

б) условия трансверсальности

,

.

Общее решение дифференциального уравнения Эйлера складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного: .

Общее решение однородного уравнения имеет вид: . Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде: .

Значения постоянных находятся непосредственной подстановкой функции в дифференциальное уравнение. Получаем: . Тогда

Постоянные найдем из условий трансверсальности:

,

.

Тогда .

Проведем исследование полученного решения. Для этого возьмем произвольную допустимую функцию и рассмотрим разность

.

С учетом того, что функция удовлетворяет уравнению Эйлера и условиям трансверсальности, получим:

.

Покажем, что . Для этого рассмотрим две последовательности функций, сходящихся к тождественно нулевой функции по норме пространства . Действительно, для последовательности функций получим:

.

А для последовательности функций

.

Следовательно, .

Покажем, что . Действительно, для последовательности функций имеем:

при .

Для последовательности функций

= при .

Ответ: .●