Случайная величина и статистики, имеющие t-распределение Стьюдента. Их применение в задачах оценивания параметров и проверке гипотез

Распределение t Стьюдента – это распределение случайной величины

где случайные величины U и X независимы, U имеет распределение стандартное нормальное распределение N (0,1), а X – распределение хи – квадрат с n степенями свободы. При этом n называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента.

Пусть у_i, i = 1,..., n - случайные величины, имеющие нормальные Р. со средним m и дисперсией s², тогда величина

где

или в случае с :

подчиняется распределению Стьюдента с ф-цией плотности вероятности

ср. значением

дисперсией

моментами

При n:, распределение Стьюдента приближается к нормальному Р. с нулевым средним и единичной дисперсией. С его помощью можно вычислить доверительные интервалы, для m и статистические критерии проверки гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения.

Распределение t Стьюдента – это распределение случайной величины

где случайные величины U и X независимы, U имеет распределение стандартное нормальное распределение N (0,1), а X – распределение хи – квадрат с n степенями свободы. При этом n называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента.

Традиционный метод проверки однородности (критерий Стьюдента). Для дальнейшего критического разбора опишем традиционный статистический метод проверки однородности. Вычисляют средние арифметические в каждой выборке

,

затем выборочные дисперсии

,

и статистику Стьюдента t, на основе которой принимают решение,

. (1)

По заданному уровню значимости a и числу степеней свободы (m+n ^_ 2) из таблиц распределения Стьюдента находят критическое значение t_кр. Если |t|>t_кр, то гипотезу однородности (отсутствия различия) отклоняют, если же |t| < t_кр, то принимают. (При односторонних альтернативных гипотезах вместо условия |t|>t_кр проверяют, что t>t_кр; эту постановку рассматривать не будем, так как в ней нет принципиальных отличий от обсуждаемой здесь.)

Классические условия применимости критерия Стьюдента. Пусть выполнены два классических условия применимости критерия Стьюдента, основанного на использовании статистики t, заданной формулой (1):

а) результаты наблюдений имеют нормальные распределения:

F(x)=N(x; m₁, s₁²), G(x)=N(x; m₂, s₂²)

с математическими ожиданиями m₁ и m₂ и дисперсиями s₁² и s₂² в первой и во второй выборках соответственно;

б) дисперсии результатов наблюдений в первой и второй выборках совпадают:

D(X)=s₁²=D(Y)=s₂².

Если условия а) и б) выполнены, то нормальные распределения F(x) и G(x) отличаются только математическими ожиданиями, а поэтому обе гипотезы H₀ и H'₀ сводятся к гипотезе

H"₀: m₁=m₂,,

а обе альтернативные гипотезы H₁ и H'₁ сводятся к гипотезе

H"₁: m₁¹m₂,.

Если условия а) и б) выполнены, то статистика t при справедливости H"₀ имеет распределение Стьюдента с (т + п - 2) степенями свободы. Только в этом случае описанный выше традиционный метод обоснован безупречно. Если хотя бы одно из условий а) и б) не выполнено, то нет оснований считать, что статистика t имеет распределение Стьюдента, поэтому применение традиционного метода, строго говоря, не обосновано. Обсудим возможность проверки этих условий и последствия их нарушений.

Область применимости традиционного метода проверки однородности с помощью критерия Стьюдента. Подведем итоги рассмотрения t -критерия. Он позволяет проверять гипотезу H'₀ о равенстве математических ожиданий, но не гипотезу H₀ о том, что обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности. Классические условия применимости критерия Стьюдента в подавляющем большинстве экономических и технико-экономических задач не выполнены. Тем не менее при больших и примерно равных объемах выборок его можно применять. При конечных объемах выборок традиционный метод носит неустранимо приближенный характер.

Если выборка из , то выборочная характеристика будет иметь распределение Стьюдента c

Доказательство:

; ; преобразуем T умножив и разделив его на

=