Доказать, что статистика имеет - распределение с (n-1) степенями свободы

Теорема.

Если X1, X2, …, Xn – случайная выборка объемом n из X € N(μ;σ), то

статистика имеет - распределение с (n -1) степенями свободы.

Доказательство:

Не нарушая общности будем предполагать, что Х-центрированная величина X € N(0;σ)

X=x’- μ, где X’ € N(μ;σ)

Xi € N(0;σ) для i=1,2…n к новой системе СВ Yj, где j=1…n

для j=1,2…n-1

нормированных нормальных величин

Отсюда следует, что и независимы между собой.

11. Доказать, что статистики и S ² , полученные по выборке из нормальной генеральной совокупности, независимы.

Теорема Фишера:

Если X1, X2, …, Xn – случайная выборка объемом n из X € N(μ;σ), то

статистика имеет - распределение с (n -1) степенями свободы.

Доказательство:

Не нарушая общности будем предполагать, что Х-центрированная величина X € N(0;σ)

X=x’- μ, где X’ € N(μ;σ)

Xi € N(0;σ) для i=1,2…n к новой системе СВ Yj, где j=1…n

для j=1,2…n-1

нормированных нормальных величин

и независимы между собой, так как … независимы между собой.