Случайная величина и статистики, имеющие t-распределение Стьюдента. Их применение в задачах оценивания параметров и проверке гипотез

Распределение Пирсона (хи - квадрат) – распределение случайной величины

где случайные величины X₁, X₂,…, X_n независимы и имеют одно и тоже распределение N (0,1). При этом число слагаемых, т.е. n, называется «числом степеней свободы» распределения хи – квадрат. Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных Непараметрические методы проверки однородности. Проверка равенства математических ожиданий или иных характеристик распределения, а обнаружение различия генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, т.е. проверка гипотезы H₀. Для проверки H₀ следует использовать методы, пригодные при любом виде F(x) и G(x), т.е. непараметрические методы. («непараметрический метод» означает, что нет необходимости предполагать, что функции распределенияпринадлежат какому-либо определенному параметрическому семейству.)

Для проверки гипотезы H₀ разработано много непараметрических методов - критерии Смирнова, Вилкоксона (Манна-Уитни), Ван-дер-Вардена, Сэвиджа, хи-квадрат и др. Распределения статистик всех этих критериев при справедливости H₀ не зависят от конкретного вида совпадающих функций распределения F(x)ºG(x). Следовательно, таблицами точных и предельных распределений статистик этих критериев и их процентных точек можно пользоваться при любых непрерывных функциях распределения.

Точечное и интервальное оценивание дисперсии. Точечной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия . Эта оценка является несмещенной и состоятельной. Доверительные границы находятся с помощью величины

d² = (m ₄ - ((n – 1) /n) ⁴ ) / n, где m ₄ - выборочный четвертый центральный момент, т.е.

m ₄ = { (X₁ – ) ⁴ + (X₂ – ) ⁴ +… + (X _n – ) ⁴ } / n.

Нижняя доверительная граница для дисперсии случайной величины имеет вид - U(p)d , где: – выборочная дисперсия, U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2, d – положительный квадратный корень из величины d², введенной выше.

Верхняя доверительная граница для дисперсии случайной величины имеет вид + U(p)d ,

При выводе приведенных соотношений используется асимптотическая нормальность выборочной дисперсии. Соответственно доверительный интервал является непараметрическим и асимптотическим. В классическом случае точечная оценка имеет тот же вид, а вот доверительные границы находят с помощью квантилей распределения хи-квадрат с числом степеней свободы, на 1 меньшим объема выборки

Точечное и интервальное оценивание среднего квадратического отклонения. Точечной оценкой является выборочное среднее квадратическое отклонение. Дисперсия рассматриваемой случайной величины - выборочного среднего квадратического отклонения s₀ – оценивается как дробь d² / (4 ). Нижняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения исходной случайной величины имеет вид - U(p)d / (2 s₀) , Верхняя доверительная граница + U(p)d / (2 )

Среди классических результатов математической статистики, основанных на гипотезе нормальности результатов наблюдений, нет методов построения доверительных границ для коэффициента вариации, поскольку задача построения таких границ не выражается в терминах обычно используемых распределений, например, распределений Стьюдента и хи-квадрат.

Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу H0 о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F(x). Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x) исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического F * (x) и теоретического распределений производится с помощью специального правила —критерия согласия.

Для проверки критерия вводится статистика:

где — предполагаемая вероятность попадения в i-й интервал, — соответствующее эмпирическое значение, ni — число элементов выборки из i-го интервала, N — полный объём выборки. Эта величина в свою очередь является случайной и должна подчиняться распределению χ2.