Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть – произвольное конечномерное линейное векторное пространство над полем K, в качестве которого рассмотрим поле действительных чисел R или поле комплексных чисел. С. В данном разделе мы будем изучать Евклидовы и унитарные пространства, которые являются линейными векторными пространствами, в которых дополнительно вводят понятия длины вектора, угла между векторами, скалярного произведения, причем последнее является основным понятием.
Определение. Линейное векторное пространство над полем действительных чисел R будем называть действительным линейным векторным пространством.
Определение. Линейное векторное пространство над полем комплексных чисел С будем называть комплексным линейным векторным пространством.
Определение. Пусть — действительное линейное векторное пространство. Скалярным произведением на пространстве называется действительнозначная функция двух векторных аргументов, которая каждой паре векторов ставит в соответствие действительное число , называемое скалярным произведением векторов и , для которого выполняются следующие аксиомы:.
1) – симметричность;
2) – однородность по первому аргументу;
3) – аддитивность по первому аргументу;
4) – положительная определенность.
Определение. Действительное линейное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется Евклидовым пространством.
Определение. Пусть комплексное линейное векторное пространство. Скалярным произведением на пространстве называется комплекснозначная функция двух векторных аргументов, которая каждой паре векторов ставит в соответствие комплексное число , называемое скалярным произведением векторов и , для которого выполняются следующие аксиомы:.
1) – антисимметричность;
2) – однородность по первому аргументу;
3) – аддитивность по первому аргументу;
4) – положительная определенность.
Определение. Комплексное линейное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, называется унитарным векторным пространством.
Свойства скалярного произведения:
1) ;
2) – линейность по первому аргументу;
3) – полулинейность по второму аргументу.
Пусть – Евклидово или унитарное пространство конечной размерности. Обозначим через базис этого пространства. Разложим векторы векторов по базису:
и
Тогда скалярное произведение векторов и получим, пользуясь свойством линейности по первому аргументу и свойством полулинейности по второму:
.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 909 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!