Свойства рангов

1) Если линейно независимая система векторов А линейно выражается через систему векторов В, то .

2) Ранги эквивалентных систем равны.

3.9. Переход от одного базиса к другому.
Метод замещения

Каждый n - мерный вектор разлагается по диагональной системе единичных вектор n - мерного пространства, и притом единственным образом, с коэффициентами разложения равными координатам разлагаемого вектора

Это выражение называется разложением вектора по базису.

Встает вопрос: каждый из векторов системы можно представить в виде линейной комбинации других векторов этой системы, если удается заменить единичные вектора векторами системы, при этом система векторов будет линейно зависимой, если в разложении единичные векторы удастся заменить соответствующими векторами системы.

Определение. Метод, с помощью которого осуществляется переход от одного базиса к другому путем последовательной замены векторов базиса векторами системы, называется методом замещения.

Рассмотрим сущность метода на примере.

Пример. Даны три вектора: , , . Требуется установить линейную зависимость системы векторов и определить ранг системы векторов.