Решение. Каждый из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации векторов единичного базиса: ,

Каждый из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации векторов единичного базиса: , .

, , .

Этому представлению соответствует таблица, где буквой Б обозначен базис, а буквой В – векторы системы.

В Б
			-2

Система векторов будет линейно зависимой, если единичные векторы удастся заменить соответствующими векторами системы.

Начнем процесс замещения. Например, заменим вектор вектором . Вектор-столбец, соответствующий вектору, вводимому в базис, будем называть направляющим вектор - столбцом. Аналогично вектор-строку, соответствующую вектору, исключаемому из базиса, назовем направляющей вектор - строкой.

Элемент, стоящий на пересечении направляющего столбца и направляющей строки, будем называть направляющим. В нашем случае направляющим элементом будет 1. Если мы решили ввести в базис вектор , то в разложении по новому базису , вектор будет иметь компоненты (1,0), так как .

Согласно этому замечанию необходимо так преобразовать исходную таблицу, чтобы на месте направляющего элемента стояла единица, а на остальных местах направляющего столбца – нули. С этой целью умножим направляющую строку на –3 и присоединим ее ко второй строке; получим новую таблицу:

В Б
			-2
		-2

Введем в базис вектор . Тогда в новом базисе вектор должен иметь компоненты (0,1), так как .

Формально, это соответствует тому, что на месте направляющего элемента –2 нужно получить 1, а на остальных местах направляющего столбца – нули. С этой целью поделим направляющую строку на –2:

В Б
			-2
		1

Умножаем преобразованную направляющую строку на –2 и присоединяем ее к первой строке. Получаем таблицу, из которой видно, что векторы системы в новом базисе могут быть представлены так:

, , .

В Б

Сравнивая (1) и (2), заключаем, что векторы заменены векторами и вектор является их линейной комбинацией. Таким образом, система векторов – линейно зависима; ранг равен двум, и базис состоит из векторов .

Пример. Дана система векторов , , . Установить линейную зависимость или независимость системы векторов и определить ранг этой системы.