Решение. Каждый из векторов можно представить в виде линейной комбинации векторов единичного базиса: , ,

Каждый из векторов можно представить в виде линейной комбинации векторов единичного базиса: , , .

, , .

Для определения коэффициентов разложения методом замещения составляется таблица, элементами которой являются коэффициенты разложения векторов по векторам базиса , т.е.

В Б
	2

Заменим вектор вектором . В новой таблице на месте разрешающего элемента надо получить 1, для этого поделим направляющую строку на 2 и запишем ее в новую таблицу, а из второй строки вычитаем преобразованную первую строку и результат запишем в новую таблицу.

В Б
		3/2	1/2
		-1/2	3/2
		-1/2	-1/2

Воспользуемся упрощенным способом преобразования (правилом прямоугольника).

Мы должны преобразовать таблицу так, чтобы на месте направляющего элемента стояла единица, а на остальных местах – нули. Для этого элементы направляющей строки делятся на разрешающий элемент a_rs ¹0, а элементы других строк заменяются на новые по правилу прямоугольника:

,

где – определяемый элемент;

– заменяемый элемент;

– элементы, стоящие в оставшихся углах прямоугольника:

– элементнаправляющей строки, стоящий в одном столбце с заменяемым элементом ;

a_is – элементнаправляющегостолбца, стоящий в одной строке с заменяемым элементом .

a_rs – направляющий элемент.

Схема правила прямоугольника:

Замечание. Векторы исходного единичного базиса можно заменять векторами системы в произвольной последовательности при условии, что направляющий элемент должен быть отличен от нуля.

На месте разрешающего элемента добиваемся единицы, разделив элементы разрешающей строки на разрешающий элемент, а остальные элементы направляющего столбца будут равны нулю:

В Б
		3/2	1/2
		-1/2	3/2
		-1/2	-1/2

Введем в базис вектор вместо вектора . После вычислений получим следующую таблицу:

В Б
			-3
			-2

Теперь введем в базис вектор вместо вектора . В итоге получим таблицу:

В Б

Все векторы исходного базиса заменены векторами данной системы. Это означает, что векторы данной системы линейно независимы; ранг равен трем: r = 3.

Таким образом, если все векторы исходного единичного базиса заменены всеми векторами данной системы, то вектора данной системы линейно независимы (процесс замещения осуществлен до конца).

Если все векторы исходного единичного базиса заменены частью векторов данной системы или часть векторов исходного единичного базиса заменены всеми векторами данной системы, однако процесс замещения продолжать нельзя, так как все элементы строк незамещенных векторов – нули, вектора данной системы линейно зависимы.