Линейные пространства

Введем следующие обозначения:

K – некоторое фиксированное произвольное поле, которое будем называть основным;

– некоторое множество;

– элементы множества , которые будем называть векторами.

Определение. Линейным (векторным) пространством над полем K называется непустое множество , рассматриваемое вместе с определенными на нем внутренней бинарной операцией сложения и внешней операцией умножения на элементы поля K, если эти операции удовлетворяют следующим свойствам, называемым аксиомами линейного (векторного) пространства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

6. ;

Замечание. Внутренняя операция сложения означает, что если , то . Внешняя операция произведения вектора на скаляр означает, что если и , то в определен элемент : . Аксиомы 1–3 означают, что существует 0-вектор , определяемый следующим образом:

и

Можно ввести операцию вычитания, полагая , в частности, решением уравнения в аксиоме 3 является разность .

Определение. Линейное пространство называется конечномерным, если существует такое число N, что количество векторов любой линейно независимой системы пространства не превосходит N.

Определение. Линейное пространство называется бесконечномерным, если для любого N в существует не менее N линейно независимых векторов.

Для конечномерных пространств справедливы уже известные понятия и факты, в числе которых понятие базиса, ранга, эквивалентности двух систем векторов, различные определения базисов системы векторов вместе с их свойствами.

Определение. Базисом пространства называется любая линейно независимая система векторов, через которую линейно выражается любой вектор из .

Определение. Базисом пространства называется любая максимальная линейно независимая система векторов из .

Определение. Размерностью конечномерного пространства называется его ранг, т.е. максимальное число линейно независимых векторов из

.

Размерностью нулевого (тривиального) векторного пространства , состоящего из единственного нулевого вектора, считается по определению .

Далее будем предполагать, что – нетривиальное векторное пространство, такое, что .

Пусть – базис пространства .

Следствие. Запись любого вектора из пространства в виде линейной комбинации базисных векторов однозначна.

Доказательство. Пусть имеем два представления вектора с помощью линейных комбинаций базисных векторов:

Тогда получаем

,

что означает в силу линейной независимости векторов базиса. Таким образом, . n

Замечание. Рассматривая базис пространства будем предполагать, что он упорядочен.

Определение. Координатами (компонентами) вектора относительно заданного базиса называются соответствующие коэффициенты его линейного разложения по базису.

Пример. Пусть V множество свободных векторов на прямой (на плоскости, в пространстве).

Основным полем K здесь является поле действительных чисел, поэтому V является линейным пространством над полем R, если в качестве действий над векторами рассматривать действия, определенные в аналитической геометрии. Размерность dim V равна 1, 2 или 3 в случае прямой, плоскости и пространства соответственно. На прямой базисом служит любой ненулевой вектор, на плоскости - любая пара неколлинеарных векторов, в пространстве — любая тройка некомпланарных векторов.

Пример. Пусть – координатное пространство векторов-столбцов. Базисом является система единичных векторов

размерностью – .