Линейная зависимость векторов

Определение. Вектор называется линейной комбинацией системы векторов , если существуют такие скаляры , что имеет место равенство:

.

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией других векторов системы.

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие скаляры , среди которых есть по крайней мере один, отличный от нуля, что имеет место равенство:

.

Замечание. Для линейно зависимой системы векторов существует неотрицательная линейная комбинация, обращающаяся в ноль. В случае одного вектора линейная зависимость означает, что , а линейная независимость – .

Пример. Даны два вектора: , . Очевидно, что , т.е. вектор является линейной комбинацией вектора . Следовательно, вектора и линейно зависимы.

Определение. Система векторов называется линейно независимой, если равенство

.

справедливо только в случае, когда .

Теорема (Критерий линейной независимости). Система векторов , где , является линейно зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор этой системы линейно выражается через остальные векторы.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы линейно зависимы. По определению это означает, что существует набор чисел , не все равные нулю, такие, что . Предположим, что . Тогда

т.е. вектор линейно выражается через остальные .

Достаточность. Пусть вектор линейно выражается через остальные :

а, значит, неотрицательная линейная комбинация векторов обращается в ноль. Тогда система векторов линейно зависима. n