Анализ решений в условиях многокритериальности

В практике менеджеров часто встречаются ситуации, когда необходимо делать выбор при наличии большого числа альтернативных вариантов решений и разнородных критериев оптимальности.

Задачи многокритериальной оптимизации возникают в тех случаях, когда имеется несколько разнокачественных целей, степень достижения которых не может быть охарактеризована одним критерием (например, затраты и сроки реализации решения). Если рассматриваются не разнородные критерии некоторой экономической системы, а сопоставляются однородные критерии различных ее подсистем, то говорят о задачах векторной оптимизации.

Пусть векторная целевая функция F (x) = [ f_i (x)] включает такие частичные целевые функции f_i (x), которые не сводятся в единую скалярную целевую функцию и выражают степени удовлетворения различных потребностей. Будем исходить из того, что рост каждой частичной целевой функции соответствует увеличению степени удовлетворения определенных групп потребностей. При этом общий уровень удовлетворения потребностей возрастает, когда значение хотя бы одной целевой функции возрастает, а значения остальных не убывает.

Решение, оптимальное на одной из частичных целевых функций, называется субоптимальны м. Вариант решения Х* называется эффективным, если не существует какого-либо другого варианта решения Х, для которого значения всех функций f_i(x) не меньше f_i(x*), а значение хотя бы одной функции строго больше, т.е. не существует такого Х, что F(x) ³ F(x*).

Множество эффективных вариантов называют множеством Парето, а элемент этого множества Х* - оптимумом по Парето (по имени выдающегося итальянского экономиста-математика конца XIX - начала ХХ вв. В. Парето). Для данного множества любое из решений не может быть улучшено ни по одной частичной целевой функции без ухудшения по какой-либо другой из них. Это не позволяет найти единственное решение задачи оптимизации, но дает возможность корректного отсева части бесперспективных вариантов решения.

Для геометрической иллюстрации может быть использовано следующее правило: вариант решения, не имеющий преимуществ ни по одному критерию, неконкурентоспособен и должен быть исключен из дальнейшего рассмотрения.

Пусть варианты решений оцениваются по двум критериям f₁(x) и f₂(x). Предположим, что имеется семь вариантов решений и известны значения показателей по обоим критериям для каждого из них.

Варианты решений
f1(x)
f2(x)

Тогда в системе координат этих критериев каждый вариант будет представлен точкой (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Множество Парето

Для сравнения вариантов будем последовательно перемещать начало координат по всем точкам. В квадрант I попадают точки, соответствующие вариантам более предпочтительным, чем данный, а точки менее предпочтительные оказываются в квадранте III; в квадрантах II и IV оказываются точки, о которых никакого определенного суждения высказать нельзя, т.к. они лучше остальных по одному критерию, но хуже по другому. Варианты 5 и 7 могут быть исключены из дальнейшего рассмотрения. Переместив начало координат в точку, соответствующую варианту 2, отсеивают первый вариант решения и т.д. В конце процедуры не исключенными остаются только те варианты, для которых не имеется ни одного более предпочтительного, т.е. для которых I квадрант пуст. Это доминирующие варианты 4, 2, 3, обладающие несопоставимыми характеристиками. Они и образуют «переговорное» множество эффективных решений, оптимальных по Парето. Если их исключить из множества всех альтернатив, то среди оставшихся можно снова выделить доминирующие несопоставимые варианты и т.д. В итоге можно получить группы лучших, средних и худших альтернатив. Далее выбор ведется лицом, принимающим решения путем поиска компромиссных решений.

Если цели могут быть выражены в количественном виде (например, в денежной форме) и с помощью построения функции соответствия могут быть приведены к единой мере (например, к увеличению чистой прибыли или уменьшению величины затрат), тогда для определения значимости каждой альтернативы можно использовать следующую процедуру.

К методам поиска компромиссных решений относятся методы «стоимость – эффективность» и «затраты - прибыль». На практике наиболее эффективные решения часто оказываются и наиболее дорогостоящими. В методике «затраты - прибыль» под различными видами «прибыли» понимаются различные показатели, характеризующие вариант решения, при этом данные виды «прибыли», причем необязательно экономической природы, должны складываться с фиксированными числовыми коэффициентами в единую составную величину. Эту составную «прибыль» могут образовывать такие показатели, как потоки платежей, внутренняя норма окупаемости, срока окупаемости и т.д. Определение составной «прибыли», т.е. количественного значения, характеризующего в некотором смысле эффективность решения, позволяет ранжировать варианты решений по предпочтительности на основании количественных оценок. Для каждой k-й альтернативы, рассчитав значение составной «прибыли» П_k и требуемых затрат З_k, можно определить и величину отношения П_k / З_k, характеризующую ожидаемое значение составной «прибыли» на единицу затрат, которое и используется для ранжирования решений по степени предпочтительности. При этом наиболее предпочтительным будет вариант с наибольшей ожидаемой «составной прибылью», получаемой на единицу затрат.

Допустим имеется семь вариантов решений, ожидаемая эффективность которых характеризуется экономическим эффектом за некоторый промежуток времени. Стоимость реализации каждого решения также известна (табл. 7.1).

Таблица 7.1