Дерево решений

Анализ вариантов предполагает использование таких понятий, как «вероятность» и «математическое ожидание случайной величины». Вероятность осуществления разрабатываемых вариантов решений зависит от вероятности выполнения различных этапов работ, их сочетаний и вариантов внешних условий. В таких случаях возникает сложная логическая ситуация, когда каждая работа является случайной величиной, а наступление каждого из ожидаемых событий сети зависит от вероятности осуществления предыдущих событий и от внешних условий.

Анализ таких ситуаций может быть выполнен с помощью деревьев решений, обеспечивающих моделирование логической структуры принятия решений в сложных ситуациях. Деревья решений позволяют представить в графическом виде позиционные игры, в которых задается многоэтапная последовательность принятия решений двумя и более игроками. В таких играх участники принимают решения, зная о всех предыдущих решениях партнеров.

Дерево решений включает в себя варианты действий, а также возможные события и результаты действий, на которые оказывают влияние случайности и неконтролируемые лицом, принимающим решения, факторы.

С помощью дерева решений можно рассчитать условную вероятность достижения каждого из возможных результатов. Эти результаты при анализе проблем могут быть выражены в виде ожидаемой величины затрат на осуществление каждого из действий или возможных результатов, которые могут быть получены от каждого из вариантов решений.

Дерево решений – это графическое изображение последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для любых комбинаций альтернатив и состояний среды.

Принципы стохастических сетевых моделей, положенные в основу деревьев решений, разработаны С. Эльмаграби, Г.Эйснером.

Ветви таких деревьев являются дугами графа, соединяющими узлы двух типов. Узлы – это состояния, в которых возникают разветвления как вследствие выбора ЛПР, так и из-за влияния внешних, неуправляемых факторов («природы»). На схемах деревьев решений квадратами обозначаются узлы, где выбор производит ЛПР (пункты принятия решений), а кружками - вероятные события (узлы возникающей неопределенности), в которых дальнейшее развитие процесса зависит от влияния внешних условий. Дерево состоит слева направо, при этом ветви, исходящие из квадратных узлов, обозначают альтернативы решений, а ветви, исходящие из круглых узлов, обозначают возможные условия внешней среды. Для каждого разветвления неопределенности определяются вероятности, а в конце каждой финальной ветви указывается ожидаемая отдача.

Анализ дерева решений производится справа налево, т.е. с результатов последних из цепочки решений. Поэтому этот анализ называется обратным. Для каждого решения выбирается альтернатива с наибольшей величиной отдачи (или с наименьшими затратами). Лучшее решение выбирается по максимуму математического ожидания отдачи.

Пример. Фирма собирается выйти со своей продукцией на рынок, где уже продается подобная продукция конкурентов. Необходимо принять решение о ценовой стратегии при продвижении продукции на рынок.

Анализ рынка показал, что на продукцию конкурентов сложилась цена 20 д.е. При внедрении на рынок рассматриваются две альтернативы: предложить такую же цену или снизить ее до 17 д.е. для привлечения покупателей. Если предложить цену в 20 д.е., тогда ожидается, что конкуренты с вероятностью 40 % сохранят свою цену и с вероятностью 60 % снизят ее до 17 д.е. Если конкурент удерживает прежнюю цену, то, предложив цену в 19 д.е., следует ожидать прибыль в размере 130 д.е., а при цене в 20 д.е. прибыль может составить только 60 д.е. Если конкурент снижает свою цену до 17 д.е., то, снизив свою цену до 16 д.е., фирма может получить прибыль в 65 д.е., а установив цену, как и конкуренты, на уровне 17 д.е., следует ожидать прибыль в размере 100 д.е.

Если будет принято решение о вхождении на рынок с ценой в 17 д.е., то с вероятностью 35 % конкуренты оставят свою прежнюю цену – 20 д.е. и с вероятностью 65 % снизят ее до 17_д.е. Если конкуренты собираются удерживать свою цену, то при цене также в 20 д.е. прибыль может составить 100 д.е., при цене в 18 д.е. можно ожидать 160 д.е. и при цене в 17 д.е. – 140_д.е. Если реакция конкурентов выразится в снижении цены до 17 д.е., то, установив такую же цену, можно получить 80 д.е. прибыли. Согласно этим данным строим дерево решений.

Рис. 7.1. Дерево решений

Проведем обратный анализ, вычеркивая двойными черточками невыгодные решения. Если при вхождении на рынок с ценой 20 д.е. конкуренты сохранили свою цену, то следует установить цену на уровне 19 д.е., тогда прибыль составит 130 д.е. против 60_д.е. при удерживании цены на уровне 20 д.е. Аналогичным образом прореживаются и остальные ветви дерева.

Для выбора окончательного решения необходимо определить математическое ожидание выигрыша при выборе того или иного решения. Так, для цены вхождения на рынок в 20 д.е.:

130 × 0,4 + 100 × 0,6 = 112 д.е.,

а при цене в 17 д.е.:

160 × 0,35 + 80 × 0,65 = 108 д.е.

Следовательно, необходимо выбрать цену вхождения на рынок 20 д.е. Если конкуренты при этом не изменяют свою цену, то следует снизить свою до 19 д.е. Если же ответом конкурентов будет снижение цены до 17 д.е., необходимо также снизить цену до 17 д.е.

ЛПР принимает гибкие решения в зависимости от реакции конкурентов (состояния внешней среды).