Пример выполнения задания 10

Условие. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике , который задан координатами своих вершин .

Решение.

1) Замкнутая область D – треугольник , изображенный на рисунке 3.

Рис. 3

2) Найдем стационарные точки заданной функции, принадлежащие , и вычислим значения функции в этих точках.

а) Для этого найдем частные производные первого порядка и приравняем их к нулю:

;

.

Решением полученной системы уравнений является

т.е. точка – стационарная, принадлежит треугольнику .

б)Вычислим значение функции в точке :

.

3) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу .

а) Составим уравнения прямых, образующих .Для этого используем формулу уравнения прямой , проходящей через две заданные точки и .

б) Прямая , проходящая через точки , задается уравнением или , откуда или или .

Итак, уравнение прямой имеет вид: , где .

Подставим в исходную функцию .

Получим .

Исследуем полученную функцию наэкстремум. Для этого найдем критические точки этой функции:

, откуда критическая точка, принадлежащая отрезку .

Найдем значения функции в этой точке и на концах отрезка .

; ; .

в) Прямая , проходящая через точки , задается уравнением

или , откуда или .

Итак, уравнение прямой имеет вид: , где .

Подставим в исходную функцию .

Тогда .

Исследуем полученную функцию наэкстремум. Для этого найдем критические точки этой функции:

, откуда критическая точка, не принадлежащая отрезку .

Найдем значения функции на концах отрезка ; .

г) Прямая , проходящая через точки , задается уравнением или , откуда или ; .

Итак, уравнение прямой имеет вид: , где .

Подставим в исходную функцию .

Тогда ..

Исследуем функцию наэкстремум.

Для этого найдем критические точки этой функции:

, откуда критическая точка, принадлежащая отрезку .

Найдем значения функции в этой точке и на концах отрезка .

;

; .

4) Из всех найденных значений функции выберем наибольшее и наименьшее.

, .

ОТВЕТ. , .