Пример выполнения задания 9

Условие. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

1) Проверим необходимые условия существования экстремума. Для этого найдем частные производные первого порядка и приравняем их к нулю:

,

.

2) Получим систему двух нелинейных уравнений

Решение системы – координаты стационарных точек.

;

; ;

.

Так как , то или .

Получим две стационарные точки и .

3) Проверим достаточныеусловия существования экстремума. Для этого:

а) найдем частные производные второго порядка и вычислим их значения в стационарных точках .

;

;

;

;

;

.

б) составим выражение и определим его знак:

.

Так как , то в точке экстремума нет.

в) составим выражение и определим его знак:

.

Так как , то в точке существует экстремум, а именно, минимум, поскольку .

4) Вычислим значение исходной функции в точке минимума:

.

ОТВЕТ. .