 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Пример выполнения задания 3
|
|
Условие. Вычислить приближенно 
, считая 
.
Решение.
1) Рассмотрим функцию 
.
2) Тогда искомое выражение можно представить в виде: 
,
где 
, 
, 
, 
.
3) Найдем частные производные функции .
,
.
4) Используя формулу для приближенных вычислений с помощью полного дифференциала
(2.6),
получим приближенное значение выражения: 
ОТВЕТ. 
Пример выполнения задания 4 а)
Условие. Найти производную 
сложной функции 
.
Решение.
1) Найдем частные производные, входящие в формулу
. (3.1)
;
;
; 
.
2) Используя формулу (3.1), получим:
.
ОТВЕТ 
.
Пример выполнения задания 4 б)
Условие. Найти частные производные 
и 
функции 
.
Решение.
1) Найдем все частные производные, входящие в формулы (3.3)
и 
;
;
;
;
; 
.
2) В соответствии с формулами (3.3) получим:
;
+ 
.
ОТВЕТ. 
,
.
Пример выполнения задания 5 а)
Условие. Показать, что функция 
удовлетворяет уравнению 
.
Решение.
1) Упростим заданную функцию
.
2) Найдем все частные производные, входящие в уравнение.
= 
;
= 
.
3) Подставим найденные производные в исходное уравнение:
=
= 
, что и требовалось показать.
Пример выполнения задания 5 б)
Условие. Показать, что функция 
удовлетворяет
уравнению 
.
Решение.
1) Найдем все частные производные, входящие в уравнение.
;
; 
.
2. Подставим найденные производные в исходное уравнение
.
=
=
, что и требовалось показать.
Пример выполнения задания 6 а)
Условие. Найти производную 
неявной функции 
, заданной уравнением 
.
Решение.
1) Здесь 
=0.
2) Производную неявной функции , заданной с помощью уравнения 
, можно найти по формуле
, при условии 
(3.4),
где 
– дифференцируемая функция переменных 
и 
.
Найдем частные производные
.
3) По формуле (3.4) получаем 
.
ОТВЕТ. .
Пример выполнения задания 6 б)
Условие. Найти частные производные 
и 
неявной функции 
, заданной уравнением 
.
Решение.
1) Здесь 
.
2) Частные производные неявной функции двух переменных , заданной уравнением 
, вычисляются по формулам:
, 
, при условии, что 
(3.5)
3) Найдем частные производные функции
;
;
.
4) Частные производные неявной функции двух переменных , определяются следующим образом:
; 
= 
.
ОТВЕТ. 
, 
.
Пример выполнения задания 7 а)
Условие. Найти производную функции 
в точке 
в направлении вектора 
и градиент функции в этой точке.
Решение.
1) Производная в направлении вектора 
определяется по формуле
(5.2)
где 
, 
– направляющие косинусы вектора .
2) Найдем частные производные заданной функции и вычислим их значения в точке :
, , при условии .
Получим 
;
.
3) Тогда частные производные неявной функции двух переменных , определяются следующим образом:
; 
.
4) Вычислим значения частных производных в точке :
; 
.
5) Найдем длину вектора и его направляющие косинусы:
;
; 
.
6) Используя формулу (5.2), получим производную функции z в направлении вектора :
.
7) По формуле 
(5.3) имеем: 
.
ОТВЕТ. 
, 
.
Пример выполнения задания 7 б)
Условие. Найти производную функции 
в точке 
в направлении вектора 
и градиент функции в этой точке.
Решение.
1) Производная в направлении вектора определяется по формуле
, (5.2)
где 
, , 
– направляющие косинусы вектора .
2) Найдем частные производные заданной функции и вычислим их значения в точке .
,
,
;
;
;
.
3) Найдем длину вектора и его направляющие косинусы:
;
; 
; 
.
4) Используя формулу (5.2), получим производную функции u в направлении вектора :
.
5) По формуле
(5.3)
получим 
.
ОТВЕТ. 
, 
.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 282 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
