Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Обозначения частных производных второго порядка
; ;
; .
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например:
; и т.д.
Частные производные второго и более высокого порядка, взятые по разным переменным, называются смешанными частными производными, например: , , и т.д.
Теорема (Шварца). Если функция и её частные производные первого и второго порядка определены и непрерывны в некоторой окрестности точки , то смешанные производные одного порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой .
Пример 6.1. Найти частные производные второго порядка функции .
Решение. Последовательно найдем частные производные первого и второго порядка
; ;
;
;
.
Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала первого порядка, т.е. .
Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков ; …, .
Если функция двух переменных имеет непрерывные частные производные по независимым переменным и , то дифференциалы высших порядков определяются по формулам
; (6.1)
. (6.2)
В общем случае имеет место символическая формула
. (6.3)
Для функции трех переменных символическая формула дифференциала - го порядка имеет вид:
. (6.4)
Формула дифференциала второго порядка для функции трех переменных имеет вид:
. (6.5)
Пример 6.2. Найти дифференциал второго порядка , если функция .
Решение. Найдем все частные производные первого и второго порядка заданной функции
, ,
, , .
Согласно формуле (6.1) получим
.
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 425 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!