Пример выполнения задания 8

Условие. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности , заданной функцией в точке . Линеаризовать данную функцию в точке .

Решение.

1) Выясним, принадлежит ли точка заданной поверхности.

Для этого подставим координаты точки М в уравнение поверхности :

=2; то есть 2=2,

следовательно, точка принадлежит заданной поверхности .

2) Так как поверхность задана явно функцией , то уравнение касательной плоскости имеет вид

, (4.1)

а уравнение нормали –

. (4.2)

3) Найдем значения частных производных функции в точке .

.

4) Используя формулы (4.1) и (4.2), получим соответственно уравнение касательной плоскости или , и уравнение нормали .

5) Линеаризовать функцию двух переменных в точке М – значит провести касательную плоскость к поверхности в этой точке. Выразим из уравнения касательной плоскости z, получим .

2–й способ линеаризации:

Линеаризацией функции в точке называется функция вида

. (5.5)

Так как , то линеаризация функции принимает вид: или .

ОТВЕТ. Уравнение касательной плоскости ,

уравнение нормали , .