Системи числення, їх класифікація, та характеристика

Найпростішим способом запису натурального числа є зображення його за допомогою відповідної кількості паличок або рисочок. Таким способом можна користуватися для невеликих чисел. Як відомо, в давнину люди використовували таку систему підрахунку кількості об’єктів. Але з розвитком відносин між людьми, зростали і кількості об’єктів для підрахунку. Пальців на руках і ногах не вистачало, носити кіпу паличок – прототипів об’єктів підрахунку – також не зручно.

Наступним кроком було винайдення спеціальних символів (цифр). З історії людства відомі різні набори символів для зображення числа. Але не тільки набори символів в числі визначають його величину. Адже числа 358 і 583 містять однакові символи, але це різні числа.

Сукупність прийомів та правил найменування й позначення чисел називається системою числення.

Розрізняють системи числення:

· позиційні

· змішані

· непозиційні

Позиційні системи числення: Винахід позиційної системи числення, заснованої на помісному значенні цифр, приписують шумерам і вавилонцям. Її було розвинуто індусами і вона отримала неоціненні наслідки для історії людської цивилізації.

Загальноприйнятою в сучасному світі є десяткова позиційна система числення, яка з Індії через арабські країни прийшла в Європу. Основою цієї системи є число десять.

Основою системи числення називається число, яке означає, в скільки разів одиниця наступного розрядку більше за одиницю попереднього, або, скільки одиниць попереднього розряду поєднано в одиницю поточного.

Загальновживана форма запису числа є насправді не що інше, як скорочена форма запису розкладу за степенями основи системи числення,

Для позиційної системи числення з основою q будь-яке натуральне число х можна подати у вигляді полінома: , де a_k — цілі (цифри, що утворюють число), такі, що 0≤a_k<q, дійсне число x_q = (a_na_n-1... a₀ , a_-1 a_-2... a_-m)_q= a_n*qⁿ + a_n-1*q^n-1 +…..+a_0*q⁰ +a_-1*q ^-1 +a_-2*q^-2 +...+ a_-m*q^-m

В математичній практиці зручною визнана десяткова позиційна система числення, тобто основою її є число 10, а саме число розписується як розкладення його по степеням з основою 10:

x_q = (a_na_n-1...a₀ , a_-1a_-2... a_-m)_q= a_n*10ⁿ + a_n-1*10^n-1 +.....+a_0*10⁰ +a_-1*10 ^-1 +a_-2*10^-2 +...+ a_-m*10^-m

Наприклад: 130678=1·10⁵+3·10⁴+0·10³+6·10²+7·10¹+8·10⁰

Тут 10 є основою системи числення, а показник степені - це номер позиції цифри в записі числа (нумерація ведеться зправо на ліво, починаючи з нуля).

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, например, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.

Римська цифра	Десяткове значення
I
V
X
L
C
D
M

Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій у якості цифр використовуються латинські букви:

Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.

Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою b і її часто відносять до позиційниї систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, і кожне число x представляється як лінійна комбінація: , де на коефіцієнти a_k (цифри) накладаються деякі обмеження.