Глава 4. Использование функций нескольких переменных в экономике

Рассмотрим типичную задачу поиска экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике. Пусть ¾ количество производимых m разновидностей продукции, а ¾ их цены (все постоянные величины). Пусть затраты на производство этих видов продукции задаются функцией издержек . Тогда функция прибыли имеет вид . Максимум прибыли определяется как условие локального экстремума функции нескольких переменных при : , . Это условие приводит к системе алгебраических уравнений относительно переменных : , .

Система полученных уравнений реализует известное правило экономики: предельная стоимость продукции равна предельным издержкам на производство этой продукции. Решениями системы являются наборы, состоящие из m значений.

Пример 1.9. Пусть производится два вида продукции x и y, цены которых соответственно равны , . Функция затрат имеет вид . Определить максимально возможную прибыль.

Решение. Составляем функцию прибыли . Найдем частные производные этой функции: , . Приравниваем их нулю, решаем полученную систему линейных уравнений и находим критическую точку: , , .

Теперь воспользуемся теоремой о достаточном условии экстремума. Для этого нужно найти вторые частные производные: , , .

Теперь проверим выполнимость условий:

а) если и , то функция имеет максимум;

б) если и , то функция имеет минимум;

в) если , то функция не имеет экстремума;

г) если , то нужно дополнительное исследование.

В нашем случае и , выполнено первое условие, следовательно, при , функция прибыли имеет максимум. Осталось подставить эти значения в формулу и вычислить максимальное значение прибыли: .