Раздел II. Линейное программирование

Основной целью экономики является рациональное функционирование хозяйствующих субъектов, то есть оптимальная деятельность при ограниченных ресурсах. Одним из основных научных направлений в этой области является линейное программирование, методы которого активно используются в прогнозных расчетах, планировании и организации производственных процессов, а также в финансовой сфере.

Линейное программирование ¾ это область математического программирования, являющегося разделом математики, в котором изучаются методы исследования и отыскания экстремальных значений некоторой линейной функции, на аргументы которой наложены линейные ограничения.

Такая линейная функция называется целевой, а набор количественных соотношений между переменными, выражающих определенные требования экономической задачи в виде уравнений или неравенств, называется системой ограничений.

Совокупность соотношений, содержащих целевую функцию и ограничения на ее аргументы, называется математической моделью экономической задачи оптимизации.

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования (ЗЛП) записывается как при ограничениях

, , , , где ¾ неизвестные, , , ¾ заданные постоянные величины.

В более краткой записи математическая модель имеет вид:

, при ограничениях , , , .

Наиболее распространенная интерпретация сформулированной задачи состоит в следующем: имеется n ресурсов при некоторых m ограничениях; нужно определить объемы этих ресурсов , при которых целевая функция будет достигать максимума (минимума), то есть найти оптимальное распределение ограниченных ресурсов. При этом возникают также и ограничения , которые называются естественными.

Следует отметить, что экстремум целевой функции ищется на допустимом множестве решений, определяемом системой ограничений. При этом все или некоторые уравнения системы ограничений могут быть записаны в виде неравенств.

Для составления математической модели ЗЛП необходимо выполнить следующие этапы:

1) обозначить переменные;

2) составить целевую функцию в соответствии с условием задачи;

3) записать систему ограничений с учетом имеющихся в условии задачи показателей.

Если все ограничения заданы уравнениями, а переменные неотрицательные, то модель называется канонической. Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель называется неканонической.