Использование векторной алгебры и алгебры матриц

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Этот вопрос стал особенно актуальным при разработке и использовании баз данных, при работе с которыми почти вся информация хранится и обрабатывается в матричном виде.

Далее будут рассмотрены задачи, использующие понятия вектора и матрицы.

Пример 1.1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в таблице

Вид изделия	Количество изделий, шт.	Расход сырья, кг/изд.	Норма времени изготовления, ч/изд.	Стоимость изделия, руб./изд.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени T и стоимость P выпускаемой продукции предприятия.

Решение. По данным таблицы составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

¾ вектор ассортимента;

¾ вектор расхода сырья;

¾ вектор затрат рабочего времени;

¾ вектор стоимости.

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента на три других вектора, то есть

кг.,

ч.,

руб.

Пример 1.2. В таблице приведены данные о дневной производительности пяти предприятий холдинга, выпускающих четыре вида продукции с потреблением трех видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия за год и цена каждого вида сырья.

Вид изделия	Производительность предприятий, изд./день	Затраты видов сырья, ед. веса/изд.
	Количество рабочих дней за год	Цены видов сырья, руб./ед. веса

Требуется определить:

1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;

2) годовую потребность каждого предприятия в каждом виде сырья;

3) годовую сумму финансирования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов и количеств.

Решение. Нужно составить матрицы, характеризующие весь экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними, получить решение задачи.

Прежде всего, составим матрицу производительности предприятия по всем видам продукций:

Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной производительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Следовательно, годовая производительность j -го предприятия по каждому виду продукции получается умножением j -го столбца матрицы A на количество рабочих дней в году для этого предприятия. Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому из изделий описывается матрицей:

Теперь составим матрицу затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий):

Дневной расход по типам сырья на предприятиях описывается произведением матрицы B на матрицу A. Так как по условию задачи надо найти годовую потребность в каждом виде сырья, то необходимо умножить матрицу B на матрицу годовой производительности предприятий :

Для ответа на последний вопрос введем вектор стоимости сырья . Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается путем умножения вектора на матрицу :

.