Теорема сложения вероятностей

Суммой конечного числа событий называется событие, состоя­щее в наступлении хотя бы одного из них.

Сумму двух событий обозначают символом А+В или ,а сумму п событий — символом A₁+A₂+…+A_n или

Предположим, что в урне имеются 5 белых шаров, 3 черных, 2 в полоску и 7 в клетку. Найдем вероятность того, что из урны будет извлечен одноцветный шар.

Пусть А—событие, состоящее в извлечении белого шара; В — черного шара; А+В— одноцветного шара. Так как собы­тию А+В благоприятствуют 8 исходов, а число всех шаров в урне равно 17, то Р(А + В) = .

Эту же вероятность можно найти по-другому: Р(A) = ,

Р(В) = и, значит, Р(А) + Р(В) = . Итак, Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

После рассмотрения этого примера можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 1. (теорема сложения вероятностей). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Вероятность события, противоположного событию A_; равна разности между единицей и вероятностью события A, т.е. Р() = 1 — Р(А).

Действительно, события A и образуют полную систему, а потому на основании следствия 2 можем записать: Р() + Р(А)= 1, откуда Р()= 1 — Р{А).