Определение вероятности события

Пусть имеется 100 деталей, из которых 97 стандартных и 3 бракованных. Очевидно, что если взять одну деталь, то событие А, состоящее в том, что эта деталь стандартная, и событие В, состоящее в том, что она бракованная, не равновозможны. Событие А более возможно, более вероятно, чем событие В.

Число, являющееся выражением меры объективной возмож­ности наступления события, называется вероятностью этого со­бытия и обозначается символом Р(А).

Определение. Вероятность события А равна отношению числа m исходов испытаний, благоприятствующих наступ­лению события А, к общему числу п всех равновозможных несовместных исходов, т. е.

Р(А)=m/n.

Из этого определения вытекают следующие свойства:

1. Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

Действительно, число m искомых событий заключено в пре­делах 0≤m≤n. Разделив обе части неравенства на n, получим 0≤P(A)≤1.

2. Вероятность достоверного события равна единице, так как n/n=1.

3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку 0/n=0.

Пример 1. Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что: а) выпадет четное число очков (событие А); б) выпадет число очков, кратное 3 (событие В); в) выпадет любое число очков, кроме 5 (событие С).

Решение:

а) На гранях игральной кости имеются три четные цифры (2, 4 и 6), т.е. число искомых исходов m= 3. Число всех воз­можных исходов равно 6 (выпадет любое число очков от 1 до 6). Зна­чит, Р(А)=3/6=1/2.

б) Здесь имеются две цифры, кратные трем: 3 и 6. Следовательно, m=2, а число всех возможных исходов n=6, откуда Р(В)= 2/6=1/3.

в) Искомыми исходами являются цифры 1, 2, 3, 4, 6 — всего их пять (m = 5). Число всех возможных исходов n = 6. Поэтому Р(С)=5/6.

Пример 2. Имеется 100 деталей. Из них 3 бракованных. Определить вероятность того, что взятая на удачу деталь окажется стандартной.

Решение.

А – выбранная на удачу деталь.

n = 100 всего

m = 100 -3 = 97 стандартных

Пример 3. Бросается игральная кость, найти вероятность того, что выпадет:

а) Выпадет чётное число очков (событие А)

б) Выпадет число очков кратное 3 (Событие В)

в) Выпадет любое число очков кроме 5 (Событие С)

Решение:

а) n = 6

m = (2, 4, 6) = 3

Р(А) =

б) n = 6

m = (3, 6) = 2

Р(В)=

в) n = 6

m = (1,2,3,4,6) = 5

Р(С) =

Пример 4. Даны 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Найти вероятность того, что, выбрав наугад две точки, учащийся получит нужную прямую.

Решение. Пусть событие А — выбор искомой прямой. Число всех возможных исходов равно количеству прямых, проходящих через заданные пять точек. Так как прямая определяется парой точек и поря­док точек внутри этой пары не имеет значения, то каждая пара должна отличаться хотя бы одной точкой. Следовательно, мы должны найти число сочетаний из пяти элементов по два, т. е.

Значит, число всех возможных пар точек равно 10, а искомой яв­ляется только одна пара точек; поэтому Р(А)= 1/10.

Пример 5. В классе 17 девочек и 14 мальчиков. Определить вероятность того, что оба вызванных ученика окажутся:

а) мальчиками

б) девочками

Решение:

а)

= 0, 19

б)